Курс теории случайных процессов - Вентцель А.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Прежде всего, из (1) следует стохастическая непрерывность
Идея построения непрерывной модификации \t процесса ?< состоит в следующем. Рассмотрим на отрезке [а,Ь] подмножество Т0, состоящее из точек вида k/2n, k и п — целые, п ^ 0. Мы будем продолжать функцию |/(ы), / еТ1 о, по непрерывности на весь отрезок [а,Ь].
Для того чтобы |<(оз), t (ЕЕ То, можно было продолжить по непрерывности, необходимо и достаточно, чтобы эта выборочная функция была равномерно непрерывна на Го. Поэтому оценим sup Ht — ls |.
Для s,/еТ0, 0<|s — положим п0 =
= [—log2|s— /|]. Сейчас мы докажем, что если знаменатели двоично-рациональных чисел s и t не превосходят 2т (т по), то
Докажем это по индукции. При т = п0, раз | s — t | ^ <1 2^"°, либо sat совпадают, либо это — соседние точки k/2n, (k-\-\)/2п\ неравенство (2) выполняется, причем даже с множителем 1 вместо 2. Предположим, что для значений т, меньших т0, (2) доказано; докажем эту формулу для то. Обозначим через s' ближайшее справа к s двоично-рациональное число со знаменателем, меньшим 2Ш° (s' = s, если знаменатель s после сокращения меньше 2т\ и s/ = s-|- l/2m°, если
он равен 2т°). Аналогично определим /'—ближайшее к t слева двоично-рациональное число со знаменателем, меньшим 2т\ Имеем s'^t', | s' — t' | ^ <|s — /|^1/2~'По; пользуясь неравенством (2) с т =
|a<C|/-S|I+e.
(1)
Is—г к л
s, t еГ,
т
Yj max
п = п° a^kl2n<(k + i)l2n sib
W\. (2)
124
= т0 I для s' и Г и неравенством | — ts | ^
< I It’ — Is' I + I Is' — Is I + I It — It' I, получаем (2) для s и /.
Итак, sup |i* — Is I не превосходит остатка ряда
s, t евТ„
I s-t | <Л
OO
A( в) = 2Х max | \k+mn ~ ? » |, (3)
n==0 a<ft/2 <(fc+I)/2 <6
начиная с члена с номером п0 = [—log2/i]. Докажем, что этот ряд с вероятностью 1 сходится (тогда остаток ряда с вероятностью 1 стремится к нулю и реализация равномерно непрерывна на множестве Т0).
Для этого вычислим математическое ожидание А. Воспользуемся неравенством M?^(M?a)I/a, справедливым для любого а > 1 и любой неотрицательной случайной величины
МЛ = 2 Е м max | l(k+m« - lk,2* | <
п=° а<*/2 <(ft + l)/2 <6
ОО j /а
^2 Yj Гм „max „ 1 ^(ft+D/2" 11 • (4)
n = 0 L a<fc/2 <(fc + l)/2 <6 J
Воспользуемся тем, что максимум какого-то числа неотрицательных чисел не превосходит их суммы; получим:
^ гстаХ п I ^+1>/2П ~~ ^/2П I ^
а<*/2п<(*+1)/2 <6
^ п ^ п ^Wk+mn~^ki2n\ ¦
а < ife/2 < (fc + I)/2 < b
Число слагаемых здесь не превосходит (b — а)/2~п = = 2п(Ь — а), а каждое слагаемое не больше С(2гп)1+Е; из (4) получаем
оо
М Л < 2 ? [2п (Ь - а) С (2“л)1+Е] 1/а= 2 ° < оо.
Теперь определим |/(<о) как lim ?s(co), если Л (со) <
S~>t
s^TQ
< °°, и ^(со)е=0, если Л(со) = оо.
125
Нетрудно проверить, что определенное выше ?,/ при каждом t измеримо относительно нашей основной а-алгебры. Остается доказать, что Р dt — h} = 1- Для двоично-рациональных t это так, потому что §t просто с вероятностью 1 совпадает с ?,/. Для остальных t имеем с вероятностью 1
It = lim ls = lim (P) ls = lt
s->t s->t
s e= T„ S^T„
в силу стохастической непрерывности процесса
Теорема доказана.
6. Замечание 1. Если It — случайный процесс, определенный на неограниченном промежутке времени, то для существования эквивалентного ему процесса с непрерывными траекториями достаточно, чтобы (1) было выполнено для 11 — s\^h, где h — положительная константа. Действительно, неограниченный промежуток можно разбить на счетное число отрезков длины не более ft и на каждом из них определять %1 отдельно; при этом вероятность того, что выборочная функция \ t будет всюду непрерывна, равна вероятности пересечения счетного числа событий вероятности 1, а значит, и сама равна 1.
В частности, отметим следующее.
а) Любой стационарный в широком смысле процесс имеет модификацию с непрерывными траекториями, если только он дифференцируем в среднем квадратическом; здесь в качестве а можно взять 2:
М I I, - L I2 = 2 Re (К (0) - К (t-s)) = О ((/ - s)2);
если процесс дважды дифференцируем в среднем квадратическом, то его траектории можно считать один раз непрерывно дифференцируемыми и т. д.
б) Теперь мы можем, наконец, доказать существование винеровского процесса. Мы уже построили процесс с независимыми приращениями wt, t ^ 0, wo = хо, такой, что его приращения wt — ws имеют нормальное распределение с параметрами (0, t — s). К нему можно применить теорему Колмогорова, взяв а = 4: М (wt — ffiis)4 = 3 (t — s)2.
