Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
поверхность 5=0 и поведение разрыва функции ф или ее производных. Если
разрывы на волновом фронте появляются у производных функции ф, начиная с
m-го порядка, то предположим, что ф можно представить в виде
При этом коэффициент Ф0 (х) определяет изменение величины разрыва. Как мы
видели в случае цилиндрических волн, особенность на волновом фронте может
содержать дробные степени, так что мы допускаем нецелые значения т. Идея
состоит в том, чтобы подставить это разложение в уравнение для ф,
приравнять коэффициенты при соответствующих степенях 5 к нулю и таким
образом получить уравнения для 5 и Фп. Однако при этом оказывается, что
нам требуется только, чтобы ф имела вид
+ ..., 5 >0, 5 < 0.
Ф= 2 Фп (х)/"(5),
(7.56)
где /п (5) обладают свойством
/" (S) = (5).
(7.57)
При вычислении производных функции ф появляются производные функций /п,
но при помощи равенств (7.57) их можно выра-
7.7. Геометрическая оптика
231
зить через предыдущие члены этой последовательности. Тогда уравнению
можно удовлетворить, последовательно приравняв коэффициенты при /п к
нулю. Эта общая схема включает в себя ряд важных частных случаев,
например предыдущий случай, поскольку выражения
( sn+m с^о
fn{S)=\ (n+m)l ' ' (7.58)
I 0, 5 < О,
удовлетворяют равенствам (7.57).
Мы проведем подстановку в форме (7.56), рассматривая ее пока как краткую
запись (7.58). Формулы нам понадобятся позднее при исследовании
обобщений. Для начала будем считать также, что т > 2. Строго говоря,
понятие "решение" надо уточнять, если входящие в уравнение производные
разрывны. Для волнового уравнения требуется существование непрерывных
вторых производных и т. > 2. Как мы убедимся, в этом есть смысл, а не
только сверхпредосторожность!
При подстановке появляются первые и вторые производные функций /п (5),
но, согласно (7.57), они заменяются на
/;(S)=/"-i(s), fn(s)=fn-2(S).
Для п = 0, 1 это приведет к /_4 (S) и /_2 (S), которых нет в исходной
последовательности. В случае (7.58) с т > 2 они определяются по той же
формуле; в других случаях их определение следует включить в определение
/" (5). После подстановки в волновое уравнение мы имеем
[S*-c-*S'i] Ф0/_2 + {[Sl-c^sn Ф, + 2Sxp0x. +
+ (SXiX-c-2Stt) Фо} U + 2 Enfn (S) = 0. (7.59)
п-0
Явное выражение для Еп нам не потребуется, однако следует отметить, что
оно содержит главный член
[^.-с-^|]фп+2
и другие члены с Ф"+1, . . ., Ф0 и производными от S.
Волновое уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты при /_2, /_ь .
. ., равны нулю. Это дает
Sx. - c~2Sf = 0, (7.60)
2S*iJ§~+ (Sx.Xi-c-*Stt) Ф0 = 0 (7.61)
и дальнейшие уравнения для последовательного определения
Ф15 Ф2, .... Основной интерес представляют уравнения для S и Ф0. Прежде
чем исследовать их решения, вернемся к вопросу о расширении области
приложений за счет выбора функций /п.
Гл. 7. Волновое уравнение
232
Разрывы функции ср и ее первых производных
Если в равенстве (7.58) т <С. 2, то встает вопрос об определении /_2 и
/_!, и это связано с расширением понятия решения. Для ш. = 2, т. е. для
разрывов вторых производных, формула (7.58) еще определяет /_2 и /_4, и
расширенное понятие решения состоит просто в том, что уравнение
удовлетворяется по обе стороны от волнового фронта S = 0.
Если разрыв имеет сама функция ф, то т = 0 и разложение за волновым
фронтом имеет вид
Если это выражение подставить в волновое уравнение, то первые два члена в
(7.59) будут отсутствовать и уравнения (7.60) и (7.61) будут утеряны.
Однако если положить
и, кроме того, при вычислении производных использовать обобщенные
функции, то будем иметь
и информация о S и Ф0 не будет утеряна. В случае т ^ 2 этих затруднений
не возникает. Объяснение состоит в том, что для т < 2 мы на самом деле
переводим рассмотрение в область "слабых решений" и расширенное
определение решения включает в себя информацию о возможных разрывах, не
зависящую от конкретного способа введения этих разрывов. Для линейных
задач необходимое расширение получится немедленно, если допустить
обобщенные функции, такие, как дельта-функция, и интерпретировать
производные в соответствующем смысле. Это эквивалентно методу, указанному
в § 2.7.
ф - Фо (х) 4* Ф1 (х) Фг (х) <52 . .
ф = Ф0 (х) Н Сs) + Ф1 (X) Я* (S) + . . ., где Н (S) - функция Хевисайда
и Hn(S) - интегралы от нее, равные
нее,
J±S", s>о, I о, s<о,
ф4 - O05tS (jS') + Ф4StH (S) -f- . . ., Ф" = Ф05,26' (S) + (Ф^ + Ф"5") S
(S) + . . .
7.7. Геометрическая оптика
233
Если ф непрерывна, но первые производные имеют разрывы, то подходящее
разложение будет иметь вид
Ф = Ф0 (х) (S) + Ф1 (х) #2 (S) + . ¦ .
и в этом случае
/о (5) = Hl (S), /_, (S) = Н (5), /_2 (S) = б (5).
Разложение вблизи волнового фронта и поведение на больших расстояниях
Если разложение (7.56) рассматривать как приближение к решению вблизи
волнового фронта, а не просто как способ изучения разрывов производных,
то можно расширить область его применения, допустив функции /п (S) еще
более общего вида, чем степенные или ступенчатые функции. Например, для
