Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
R равно нулю до тех пор, пона S(t) впервые не пересечется с областью R.
Ясно, что это произойдет вДот момент,
Рис. 7.5. Построение волнового фронта для возмущения, первоначально
сосредоточенного в области R.
когда ct станет равным кратчайшему расстоянию от х до границы R. Это
кратчайшее расстояние откладывается по нормали к граничной поверхности
области R.
Обратив проведенные выше рассуждения, можно определить волновой фронт в
момент времени t. Построим все нормали к граничной поверхности области R
и отложим расстояние ct вдоль каждой нормали. Поверхность, образованная
полученными точ-
Гл. 7. Волновое уравнение
228
ками, будет волновым фронтом. Заметим, что там, где поверхность R
вогнута, волновой фронт через некоторое время образует складку (см. рис.
7.5). Это построение будет изучено ниже, когда речь пойдет о
геометрической оптике.
Возмущение в произвольной точке х вне R исчезает, когда сфера S (t)
становится настолько большой, что R целиком лежит внутри ее. Таким
образом, в трехмерном пространстве первоначальное возмущение конечных
размеров приводит к возмущению, которое длится только в течение конечного
интервала времени. "Хвост" отсутствует.
Двумерная задача
Решение для двумерного распределения начальных значений можно
рассматривать как частный случай, когда ф0 (х) и фх (х) не зависят от х3.
Предположим, что ненулевые значения ф0 (хг, х2), Фх (ж1,ж2) сосредоточены
в ограниченной области R0 (а^,^-плоскости. С трехмерной точки зрения они
заполняют цилиндр R с образующими, параллельными оси х3, и поперечным
сечением R0. Исходное возмущение уже не будет иметь конечные размеры. Для
точки х вне цилиндра R волновой фронт строится так же, как и раньше, но
сферы S (t) с центрами в точке х будут пересекать R для всех моментов
времени после первого пересечения. Это приводит к "хвосту" у двумерных
волн и наглядно демонстрирует разницу между двумя и тремя измерениями.
В решении (7.54) значение ф (х, t) не должно зависеть от х3. Это можно
проверить непосредственным вычислением после указанного ниже
преобразования интегралов. Рассмотрим величину
М[ фо] = 4 Jc2jr { Фо dS sc о
в точке (хъ х2, 0).
В точке (?15 ?2, |3) сферы S (i) (см. рис. 7.6) функция ф0 принимает
значение ф0 (?-,, ?2). Внешняя нормаль образует с осью х3 угол, косинус
13 которого равен
1з __ [ VcW - (XI - il)2 - (х2 - j2)2 ct ct
Элемент поверхности dS равен d?id?,2/\ l3 |, где d?td?2 - его проекция на
(xlt ж2)-плоскость. Следовательно, учитывая два равных вклада от верхнего
и нижнего полупространств, можно записать
М[ф1- 1 ff
- 2nd Л уС^-(Х1-г^~(х2~1г)2 '
7.7. Геометрическая оптика
229
где о (t) - проекция сферы 5 (t) на (ж1,ж2)-плоскость (см. рис. 7.6), т.
е.
с (*): {xi - hf + (х2 -12)2<c2Z2.
Полное решение сводится к
m (г т f\ 8 1 ff Фо (61.62)^1^ |
dt 2п Л у с2*2_(г1_|1)2_(г2_|2)2 +
,1 f Г Ф1 (5l, ?2) c?gl e?gg -- (7>55)
it) УсЦг-(х i-6i)*-(*s-b)2 Можно заметить сходство с выражением (7.29).
Рис. 7.6. Построение, связанное с переходом из трехмерного пространства
на плоскость в задаче Коши.
Поскольку здесь интегрирование проводится по всему кругу (жх - ^)2 + (ж2
- ?2)2 <С сН2, а не только по окружности, возмущение продолжается и после
того, как исходная область i?0 окажется полностью внутри этой окружности.
/./. Геометрическая оптика
При обсуждении одномерных задач в § 5.5 и 5.6 была выяснена роль
характеристик как носителей разрывов. Было также показано, что изменение
величины разрыва мржно определить непосредственно из уравнений, не находя
полного решения. Это же верно и для большего числа измерений, и теория
разрывов для линейных уравнений есть одно из приложений геометрической
оптики. Второе приложение касается периодических волн в высокочастотном
Гл. 7. Волновое уравнение
230
приближении. Оба случая тесно связаны, поскольку фурье-анализ разрывных
функций связывает особенности с высокочастотным поведением. Оказывается,
что оба аспекта геометрической оптики можно объединить одним общим
построением.
Геометрическая оптика особенно важна, когда точное решение невозможно
найти в явном виде или оно чрезвычайно сложно. Даже для более простых
задач часто легче найти поведение волнового фронта таким образом, чем
выделять его из общего решения. Мы разовьем идеи геометрической оптики на
примере волнового уравнения, а затем покажем, как их применять к волнам в
неоднородной среде (для которых точные решения могут оказаться
недоступными) и к анизотропным волнам (которые имеют сложный вид). В
следующей главе с помощью идей геометрической оптики будет развита
приближенная теория распространения ударных волн. Из-за нелинейности и
многомерности такие задачи чрезвычайно трудно исследовать каким-либо
другим способом.
Теория разрывов в основном применяется для определения поведения
волнового фронта, распространяющегося в невозмущенную область.
Предположим, что волновой фронт описывается уравнением 5 (х, t) = 0 и что
решение ср тождественно равно нулю при 5 (х, t) < 0. Следует определить
