Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
начальными условиями
Ф = Фо (х), Ф" = Ф1 (х), t = 0.
Согласно идеям Адамара, трехмерная задача проще, чем двумерная, и мы
начнем с нее.
Как было показано при исследовании решения в виде сферической волны в §
7.3, функция
Гл. 7. Волновое уравнение
224
является решением для произвольной точки Исходя из интуитивных
соображений, можно утверждать, что начальное возмущение, заданное в
произвольной точке создает такую сферическую волну, и предположить, что
решение должно быть суперпозицией всех таких сферических волн. Итак,
рассмотрим
ф(х, t) = j У (?) (7.49)
Под знак интеграла внесена произвольная функция Ф" (|), поскольку в
зависимости от начальных условий сферические волны, выходящие из
различных точек |, [соответствуют источникам разной интенсивности. В
выражении (7.49) удобно ввести сферические координаты (R, 0, к) с полюсом
в точке х. Тогда получаем оо п 2л
ф(х, <)= ^ j j ф" (х + 7?1) / (R-ct) R sin 0 dR dQ dk,
ООО
где 1 - единичный вектор, который направлен из х в | и который в
декартовых координатах записывается так:
1 = (sin 0 cos к, sin 0 sin к, cos 0).
Предполагая, что исходный источник, определяющий /, действует мгновенно,
положим в этой формуле f (R - ct) =6 (7? - ct). Тогда
JT 2jt
ij) (x, t) = cf ^ ^ T" (x+ cfl) sin0 dQ dk. (7.50)
о 0
Формально это выражение является решением для любой функции Т". Его можно
также записать в виде интеграла по поверхности
ф(х, *)=- J VdS,
S(t)
где S (t) - сфера радиуса ct с центром в точке х. Для непрерывно
дифференцируемой функции Ч;, в силу (7.50), имеем
ф ->-0, % 4лЧг (х) при t -*¦ 0. (7-51)
Выбрав Т (х) == (pj (х)/(4л), мы решим задачу с начальными
условиями частного вида
ф 0, ф{ ф! (х) при t -0. (7.52)
Решение имеет вид
Ф(х, 0 = i 4'idS' (7 53)
S( t)
7.6. Задача Коши в двух и трех измерениях
225
Оно дает полный вклад мгновенных источников, присылающих сферические
волны в точку х в момент времени f; все они находятся на расстоянии ct, и
их вклады, перемещаясь со скоростью с, достигают точки х в момент времени
t (см. рис. 7.4). Заметим, что все точки, лежащие внутри сферы S (f), в
принципе могли бы еще
Рис. 7.4. Детали построения решения Пуассона задачи Коши; R - область
начального возмущения.
давать вклад. Но у сферических волн нет "хвоста", источники действуют
мгновенно, и вклад каждого длится лишь мгновение. Для двух измерений это
уже не так. Во всяком случае, выражение (7.53) формально является
решением задачи с начальными условиями (7.52). Его можно также переписать
в виде
ф (х, t) = ctM[фх],
где
4^2*2 J ф1^5
S(t)
означает среднее значение функции срх по сфере S (t).
Для того чтобы удовлетворить второй половине начальных условий, можно
положить функцию / в (7.49) равной S' и далее действовать так же, как и
выше. Однако лучше использовать прием, который часто оказывается
полезным. Если ф - решение уравнения в частных производных с постоянными
коэффициентами, то решением будет и производная от ф по t или по х. В
данном случае заметим, что
*(х,
является решением волнового уравнения, если ф (х, t) выражается формулой
(7.50). Далее при f->- 0, согласно (7.51), имеем
X = Ь 4^ (х),
Xt = = с2^2ф -0.
Гл. 7. Волновое уравнение
226
Для того чтобы %->• фо (х), ул 0 при t-*- 0, следует положить Т (х) = ф0
(х)/(4я) и взять
S(o
Полное решение для произвольных начальных условий, таким образом, имеет
вид
ч><х' *>=ir{*b- J <р°^}~Ь_4НсГ j ^dS=
S(t) S(t)
= {c^ [Фо]> -f сШ [ф4]. (7.54)
Проверка решения
Осталось проверить непосредственными вычислениями, что выражение (7.50)
удовлетворяет волновому уравнению. Сразу получаем, что
Я 2я
^>44 = ^1 j Sin 6 (Ю dh - j
о о г S(t) 1
где ? = х -J- ей. Вычисление производных по t требует несколько более
сложных выкладок. Имеем
Я 2я
^JL+Л j j j h~dS =
0 0 S(0
t|) , 1 f W ЛТ/
= T+T J -ЩfdV'
V(t)
где V (t) - объем, ограниченный сферой S (t). Поэтому ф , ф, If ,
С (* 02ф
- t2 + г "г 3 eg? + f J 0if
F(t) S(0
что сводится к
02ф
Ч'" = Т f
dS,
-
S(t)
в силу выражения для ф(. Таким образом,
Ф" = с2фж.ж.,
что и требовалось.
В этих рассуждениях предполагают, что Y дважды непрерывно
дифференцируема. Для того чтобы выражение (7.54) было осмысленным,
необходимо только, чтобы функции ф0 и фх были интегри-
7.6. Задача Коши в двух и трех измерениях
22?
руемы. Можно расширить понятие решения так, чтобы включить все случаи,
для которых выражение (7.54) имеет смысл. В частности, если функции ф0 и
срх являются кусочно гладкими, то (7.54) определено и <р -ф0 (х), ф4 -v
фх (х) во всех точках гладкости.
Для задачи о взрыве шара из § 7.3 ф0 = 0, фх = -Н/р0 в исходной сфере.
Это пример кусочно гладких начальных данных. Было бы интересно при помощи
интеграла Пуассона построить решение не только для сферически
симметричного случая, но и для произвольной области начального давления.
Это предоставляется читателю.
Волновой фронт
Если ненулевые значения ф0 (х) и фх (х) сосредоточены в ограниченной
области 7?, как показано на рис. 7.4, то решение в произвольной точке вне
