Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
н (Pi, р2, Ps) = Pt = °ХГ Характеристическими уравнениями в этом случае
являются
Ж=Н*г f-=0' <7-81>
На лучах величины pt постоянны, поэтому направления лучей HVi постоянны и
лучи являются прямыми линиями. Однако направления лучей ортогональны
волновому фронту тогда и только тогда, когда
Яр оо ри
7.9. Анизотропные волны
247
Это верно тогда и только тогда, когда Н представляет собой функцию от р\
+ pi -f- pi, т. е. в изотропном случае.
Простой пример анизотропии дает волновое уравнение в движущейся среде.
Если среда имеет скорость U в направлении оси хх и если а0 - скорость
распространения в покоящейся среде, то
{Символ с зарезервирован для нормальной скорости волнового фронта,
которая не равна а0). Уравнение эйконала имеет вид
(7-82)
I w0
и мы полагаем
Я = 4-(р|-о0- (1-ПрЛ-Направление луча определяется соотношениями Е/2\
dx2_Tl dk а% \ а2 ) Ри dk Р2' dk
Оно, очевидно, не совпадает с направлением нормали р к волновому фронту.
Для точечного источника волновой фронт является,
Рис. 7.12. Волновой фронт и лучи для акустического импульса в движущейся
среде.
очевидно, сферой радиуса a0t, снесенной вниз по течению на расстояние Ut.
Лучи показаны на рис. 7.12.
То, что лучи не ортогональны волновому фронту, несомненно, сначала
кажется удивительным. Интуитивное представление, что волновой фронт
движется по нормалям, естественно, и как следствие можно ожидать, что
ортогональные траектории играют в геометрии движения основную роль. Но
это совсем не так. Дело в том, что лучи связаны с распространением
энергии, и ни скорость, ни направление их не обязаны совпадать с
нормальной скоростью волнового фронта. Это первое проявление в
ограниченной форме важного различия между фазовой скоростью и групповой
скоростью. В общем виде это различие будет обсуждаться в гл. 11, и более
подробное изучение лежащих в его основе понятий мы пока отложим.
Гл. 7. Волновое уравнение
248
Вернемся к общему случаю системы (7.81). Поскольку величины pi постоянны,
уравнения интегрируются. Рассмотрим случай точечного источника,
расположенного в начале координат. Пусть s - расстояние от источника;
тогда решение системы (7.81) имеет вид
xt = ZjS, о = Pihs, (7.83)
где 1 - единичный вектор, направленный вдоль луча и имеющий компоненты
Нр-
li = 77^?- <7-84>
V н\.
Семейство лучей получается варьированием pt по всем значениям,
удовлетворяющим уравнению
Н (Pi, р2, Ps) = 0. (7.85)
Каждый выбор pi определяет луч, и в момент времени t волновой фронт о
= t находится на расстоянии
s = Wt <7-86>
вдоль луча. Координаты соответствующей точки волнового фронта
равны
(7'87)
изменяя параметры рг, р2, р3, удовлетворяющие уравнению (7.85), получаем
весь волновой фронт.
Подставляя в (7.63) приведенную форму S - t - о (х), получаем для
нормальной скорости волнового фронта следующее выражение:
1 _ 1 с" |Vo| ~ р ¦
В силу этого, единичная нормаль к волновому фронту имеет компоненты
ni - сри
и угол р между вектором 1 и нормалью определяется уравнением COS р =
Ijllj = cljPj.
Поэтому (7.86) можно переписать как
s= ---t. (7.88)
cos р '
Волновой фронт движется вдоль луча с увеличенной скоростью с/cos р, а его
скорость вдоль нормали равна с. Иногда в качестве параметров удобнее
использовать не рг, р2, р3, а с = 1/р и единич-
7.9. Анизотропные волны
249
ную нормаль rii = cPi- Тогда уравнение эйконала (7.85) определяет с как
функцию от п. Эта функция с (п) описывает анизотропную среду и геометрию
лучей и полностью определяет волновой фронт. Такое описание особенно
удобно для плоских и осесимметричных задач. Мы описываем эти случаи в
переменных (хг, х2), причем в осесимметричном случае переменная х2
является расстоянием от оси симметрии.
Плоские и осесимметричные задачи
Пусть нормаль п образует угол ф с осью хг\ тогда уравнение эйконала
определяет скорость распространения в виде с = с (ф). Чтобы описать лучи
и волновой фронт в терминах с (ф), необходимо найти выражение для
направленного вдоль луча единичного
Рпс. 7.13. Геометрия волнового фронта, лучей и нормалей в анизотропной
среде.
вектора I как функции от с (ф). Оказывается, что удобнее
всего
найти угол р между вектором 1 и нормалью п (см. рис. 7.13).
Поскольку I имеет направление дН/др и п имеет такое же направление, что и
р, этот угол можно найти, проведя рассуждения в р-пространстве. Сначала
представим вектор Нр. в р-пространстве в полярных координатах р и ф. Он
имеет компоненту дН/др в направлении р и компоненту сШУ(р<9ф),
перпендикулярную к р. Отсюда
.. _1_ дТУ/сф oq\
g' р дН/др' (7.89)
С помощью функции с (ф) можно написать эквивалент уравнения эйконала для
Н (р, ф):
Н = рс (ф) - 1=0.
Следовательно,
<7-9С1>
Это основная формула, связывающая направления векторов I и п.
Гл. 7. Волновое уравнение
250
Лучи определяются равенствами
хх ~ s cos (р + ф)?, х2 = s sin (р + ф)?.
Волновой фронт (7.88) находится на расстоянии
= * J/V2 + C2 (7.91)
вдоль луча с параметром ф. Следовательно, в декартовых координатах
