Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
складку на листе. Эта огибающая называется каустикой. На каустике
(поскольку на ней соседние лучи касаются друг друга) djt/dtd0 -> 0. В
сийу уравнения (7.70), это означает, что на каустике Ф0 -у оо.
Гл. 7. Волновое уравнение 240
Для задачи о волновом фронте этот результат корректен и его можно вывести
из точного решения волнового уравнения. Но остается ли применимым само
волновое уравнение - это уже другой вопрос. В акустике, например, оно
получается только после линеаризации и при Ф0 -оо может оказаться
неверным
Рис. 7.9. Образование каустики.
из-за нелинейных эффектов. В главе 8 будет обсуждаться нелинейное
поведение ударных волн и можно будет утверждать (за исключением, видимо,
чрезвычайно слабых ударных волн, на которых сильнее сказываются эффекты
вязкости), что вогнутая ударная волна фокусируется и при этом ускоряется,
избегая наложения.
Для высокочастотных волн приближение геометрической оптики неприменимо
вблизи каустики даже как приближение к волновому уравнению. Сингулярное
поведение Ф0 делает разложение (7.62) неравномерным в окрестности
каустики. Правильное поведение впервые было найдено Эйри. Дальнейшее
исследование было выполнено Келлером с сотрудниками (см., например, Кэй и
Келлер [1]). Правильный результат состоит в том, что амплитуда остается
конечной, но растет с ростом со обычно как дробная степень со. Этот
вопрос несколько более специальный, чем остальная часть этой главы, и
читатель отсылается к оригинал ьным статьям1).
7.8. Неоднородная среда
В уравнениях, описывающих неоднородную среду, коэффициенты являются
функциями от х. Рассматриваемый метод разложения еще пригоден, но
уравнения для о и Ф0 изменяются. В изотроп-
4) См. также Найфе А., Методы возмущений, М., "Мир", 1976, стр. 403-407.-
Прим. ред.
7.8. Неоднородная среда
241
ных случаях единственное изменение уравнения эйконала состоит в том, что
с = с (х), и полезнее обсудить сначала общую ситуацию, а затем перейти к
конкретным примерам. Зависимость от х изменяет форму уравнений для лучей.
Если, как и раньше, ввести Pi = oXf и
Поскольку вектор р является нормалью к волновому фронту о = const, из
первого уравнения следует, что лучи все еще ортогональны волновым
фронтам. Однако из второго уравнения следует, что величина cpi уже больше
не постоянна на луче, так что лучи искривляются в соответствии с
направлением градиента функции с. Лучи следует определять решением первых
двух уравнений относительно х-г (s) и рх (s), после чего третье уравнение
дает
здесь о - время распространения волнового фронта вдоль луча.
Принцип Ферма утверждает, что это время стационарно по сравнению с
соседними путями, соединяющими две данные точки. Мы можем проверить это.
Пусть произвольный путь, соединяющий две точки х = а и х = Ь, задан в
параметрическом виде
(Для применения обычных методов вариационного исчисления удобно
нормировать параметр так, чтобы интегрирование проводилось по одному и
тому же интервалу для всех путей. Поэтому переменная s в данном случае
неудобна в качестве параметра.) Время для каждого пути равно
В соответствии с известными результатами вариационного исчисления функции
Xi (р), при которых интеграл
Я = ус(х) р| -ус 1 (х) = О,
то характеристические уравнения запишутся в виде
dpi дН дН °xi
ds Р* да dxt с2 '
da дН 1
ds dpi с
(7.71)
с(х)
ds
луч
х х (р), 0 < р < 1, х (0) = а, х (1)
= Ь.
о
(7.72)
Гл. 7. Волновое уравнение
242
достигает стационарного значения, удовлетворяют уравнениям Эйлера
d / dfF \ dZF _ Q
Ф V д'х. ) dxt ~~
В нашем случае уравнения имеют вид
d /_!_ 1 +J_y^ Ci=0.
ф с 1/ -2 ф с2 ' I \ к х}_ /
Вернувшись на этом стационарном пути к параметру s при помощи соотношения
xjdu = ds, получим
d
ds
/ 1 dxi\ , i n
Это согласуется с (7.71), и мы проверили принцип Ферма для нашего случая.
Принцип Ферма непосредственно и наглядно объясняет,' почему лучи являются
прямыми, когда с постоянно.
Слоистая среда
Для слоистой среды, в которой с зависит только от вертикальной
координаты, скажем у, вычисление лучей можно упростить. Прежде всего луч
остается в той же вертикальной плоскости, в которой он начинается.
Поэтому достаточно рассмотреть двумерный случай с осью х, направленной по
горизонтали, и осью у по вертикали. Скорость имеет вид с = с (у), и
система (7.71) сводится к следующей:
dx dy
*- = Ч>ь -^=СР*'
dpi_ о________________________с' (у) do _ 1
ds ' ds с2 ' ds с
Поскольку рх постоянно и dx/ds = cpi, угол 0 между лучом и горизонталью
определяется равенством cos 0 = рхс (у), и если индекс О относится к
некоторой исходной точке луча, то
cos 60 cos в _ с (у)
с0 ' cos 0О с0 ' ' '
Это известный в оптике закон Снеллиуса.
Компоненту р2 можно найти, решив уравнения для у и р2 или, еще лучше,
заметив, что равенство р\ + р\ = 1/с2 (уравнение эйконала) дает
_ . -| /~ 1 cos2 во Р2 V сЦу) ' eg ¦
7.8. Неоднородная среда
243
(7.74)
Уравнения лучей дают нам
dx pi с (у) cos бр/ср
dy Pz |/1 - с2 (у) cos2 0o/cq
