Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
цилиндрических волн разложение вблизи волнового фронта (7.34) принимает
вид (7.56), если положить
(few-sr Js=(-f.
ф м- (-" I' )"+т
^п(Г) п! (- п-1/2)! \2 г)
Это разложение оказалось справедливым при
Таким образом, S не обязательно должно быть малым при условии, что г
достаточно велико. Функции /п (S) удовлетворяют определяющим соотношениям
(7.57), и это разложение включается в развиваемую здесь общую схему.
Вообще говоря, следует ожидать, что разложение (7.56) с подходящими /п
(S) будет описывать поведение в некоторой довольно широкой области за
волновым фронтом. Однако точный вид этих специальных функций /п (S) можно
найти только из более полных решений; они не определяются подстановкой
(7.56) в уравнение. Но определение S и Ф0 из (7.60) и (7.61) все же дает
ценную информацию. В типичных случаях это разложение описывает поведение
на больших расстояниях, т. е. когда с5/|х| мало. В первом приближении /о
(S) описывает профиль волны, а Ф0 (х) - затухание амплитуды при х -оо.
Высокие частоты
В задаче о распространении волн часто интересуются периодическими по
времени решениями с заданной частотой со. Если
Гл- 7. Волновое уравнение
234
теперь для ф взять уравнение более общего вида
= 72 Ф">
где L - некоторый линейный оператор, не зависящий от t, то периодические
решения можно записать в виде
ф = Ф (х) е~ш, где Ф удовлетворяет уравнению
ГФ + -^-Ф = 0.
с*
Для больших значений со/с (нормированных характерной длиной задачи,
возможно, масштабом самой переменной х) в стандартном методе нахождения
асимптотических решений полагают
ф ^ gicoo(x) V фп (х) (- гш)-",
71=0
где функции о (х) и Ф" (х) еще нужно определить. Для ф это разложение
имеет вид
ф ~ e-icoct-o(x)) V Фп (Х) (_ щ-пт (7 62)
п= 0
Его можно записать в виде
Ф~ S Фn (х) fn (S),
п- 0
где
-iaS
S - t с (х)> /п(5) = -т-^г.
Заметим, что так определенные функции /п (S) удовлетворяют равенствам
(7.57). Следовательно, уравнения для S и Фп в точности такие же, как и в
разложении вблизи волнового фронта, и нет необходимости их переписывать;
видно также, почему получаются те же самые результаты.
В данном контексте поверхности S = const являются поверхностями равной
фазы (например, пучностей и узлов), тогда как Ф0 (х) определяет амплитуду
колебаний в точке х.
Определение S и Ф0
Продолжим теперь исследование уравнений для S и Ф0 в случае волнового
уравнения. Описание будем проводить применительно к распространению
волнового фронта, но высокочастотная интерпретация очевидна.
7.7. Геометрическая оптика
235
Уравнение (7.60) для S часто называют уравнением эйконала. Оно описывает
движение поверхности S = 0 в х-пространстве. Нормаль к поверхности
задается единичным вектором I с компонентами
- SXi
li==~\vsf'
Нормальную скорость распространения фронта можно вычислить, заметив, что
близкие точки (х0, t0) и (х0 -|- 16s, t0 + 61) лежат на поверхности при
условии, что
S(x0,t0) =0, S (х0 -|- 16s,i0-f- 6i) = 0.
Отсюда с точностью до второго порядка по 6s и 61 liSx.$s -f- St$t = 0, и
нормальная скорость равна
<7-63>
Таким образом уравнение эйконала утверждает просто, что волновой фронт
имеет нормальную скорость, равную +с.
Для дальнейшего построения решения удобно искать волновой фронт в виде
S (х, t) = t - о (х) = 0. (7.64)
Семейство поверхностей а (х) = const определяет последовательные
положения волнового фронта в х-пространстве. Уравнения (7.60) и (7.61)
принимают вид
<^ = 75-. (7-65)
2аж.-^ + сж.ж.фо = 0. (7.66)
Нелинейное уравнение для а можно решить методом § 2.13, интегрируя вдоль
характеристик. Если ввести pL = ах. и записать это уравнение в виде
Н = y cpl ^ с~1 = 0,
то характеристики, определяемые уравнениями (2.86), будут кривыми в х-
пространстве с направлением
dxi ds
= CPi
Нормированный таким образом параметр s является расстоянием вдоль
характеристики, поскольку из уравнения (7.65) следует, что с2р\ = 1.
Полная система характеристических уравнений
Гл. 7. Волновое уравнение
236
(2.86)-(2.88) имеет вид
Эти уравнения можно вывести непосредственно из (7.65), учитывая, что
и не ссылаясь на общие формулы. Поскольку вектор рг - ох. ортогонален
волновому фронту о = const, первое из уравнений
(7.67) показывает, что лучи также ортогональны; они образуют
траектории, ортогональные семейству волновых фронтов а = const. Второе
уравнение показывает, что вектор р постоянен вдоль луча; следовательно,
постоянно и направление луча ср, а сами лучи являются прямыми линиями.
Тогда лучи можно построить, начертив семейство прямых, ортогональных
исходному волновому фронту. Третье уравнение в (7.67) при интегрировании
дает
где s - расстояние от исходного волнового фронта. В произвольный момент
времени t > 0 волновой фронт t = о = s/c находится на расстоянии ct вдоль
лучей. Это в точности совпадает с построением для точного решения
Пуассона, представленным на рис. 7.5. Если х0 - точка на исходном
волновом фронте, а I (х0) - вектор единичной нормали в этой точке, то
