Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 86

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 215 >> Следующая

формально решение системы
(7.67) таково:
Это неявное выражение для о (х): по заданному х исходная точка х0 и
расстояние s в принципе определяются из первого уравнения; тогда о = s/c.
Данные результаты присущи волновому уравнению. В общем случае лучи,
определяемые как характеристики уравнения эйконала, не являются ни
прямыми (неоднородная среда), ни ортогональными к волновому фронту
(анизотропная среда).
Уравнение (7.66) представляет собой линейное уравнение для Ф0, и его
характеристиками служат те же самые лучи, уже введенные для уравнения
эйконала. Его можно переписать в следующей характеристической форме:
S
о =
x = Xo + I(x0)s, р = с Ч(х0), а=~-
1 <2Ф0 Фо ds
(7.68)
и в принципе оно элементарно интегрируется, как только определена а (х).
Ясно, что функцию Ф0 следует находить интегрирова-
7.7. Геометрическая оптика
237
нием вдоль лучей и что ее изменение как-то связано с расхождением лучей,
измеряемым о^.х.. Но учитывая неявную формулу для а (х), лучше поступить
несколько иначе.
Заметим сначала, что уравнение (7.66) можно записать в дивергентной форме
а это подсказывает, что нечто сохраняется, и наводит на мысль о
возможности использовать теорему о дивергенции. Рассмотрим трубку,
образованную лучами, лежащими между исходным волновым фронтом <5%: о = 0
и волновым фронтом о = t
Рис. 7.7. Волновые фронты и трубка лучей в геометрической оптике.
в момент времени t, как показано на рис. 7.7. Проинтегрируем
(7.69) по объему зтой трубки лучей и используем теорему о
дивергенции; тогда мы получим
где п - внешняя нормаль, а интеграл по поверхности берется по боковой
поверхности 2 и основаниям <5^0, & трубки лучей. В данном случае лучи
ортогональны волновым фронтам о = const; следовательно,
и этот вклад выпадает. На & векторы п и Vo имеют одинаковые направления,
так что
пгаж. = |Vcr| на
(7.69)
пгая. =0 на 2
Гл. 7. Волновое уравнение
238
и из уравнения эйконала (7.65) | Vo | = с-1. На S, векторы п и vo имеют
противоположные направления, так что Щ^х. = - | Vo | = - с-1 на S0.
В данном случае с постоянно и мы имеем
j ФldS= j
S S о
Если трубка лучей берется очень тонкой и имеет малые площади поперечного
сечения АЛ, на S0 и АЛ на "5е, то с точностью до второго порядка это
можно переписать как Ф02 (х) АЛ = Ф2 (х0) АЛ, или - в пределе при АЛ о,
АЛ -0 - как
фо(х) = (iSLY112 (7 70)
Фо(хо) о) { >
Обычно равенство (7.70) интерпретируют в терминах потока энергии вдоль
трубки лучей, особенно в контексте высокочастотного приближения вида
(7.62). Через каждое поперечное сечение трубки лучей имеется осредненный
поток знергии, и без подробных вычислений ясно, что этот поток
пропорционален Ф2А"^. Таким образом, уравнение (7.70) эквивалентно
"закону" постоянства потока знергии вдоль трубки лучей. Для неоднородной
среды (как будет показано ниже) у Ф>1АЛ появляются дополнительные
множители, зависящие от среды, но закон постоянства потока энергии
остается справедливым.
Это на самом деле общий результат геометрической оптики для
недиспергирующих волн, и он часто используется непосредственно для
определения изменения амплитуды без проведения каждый раз подробных
выкладок. Недавние исследования по диспергирующим волнам позволили
высказать общие соображения по данному кругу вопросов; в то же время они
привели к изменению точки зрения. Появились более общие понятие
"волнового действия" (которое в простейших линейных случаях представляет
собой поток энергии, деленный на подходящую частоту) и закон сохранения
этого действия. В нашем случае частота постоянна, так что оба закона
совпадают. Эти общие вопросы будут обсуждаться в ч. II.
Для плоских, цилиндрических и сферических волн трубки лучей являются
прямыми полосами, клиньями и конусами соответственно. Следовательно, для
зтих случаев
&Л А ^ х
7.7. Геометрическая оптика
239
Это совпадает с данными о поведении вблизи волнового фронта Эли на
больших расстояниях, полученными раиее ИЗ точных решений. В случае двух
измерений при отсутствии цилиндрической симметрии мы имеем
Д^о = = № + s) Д0,
где Rx - радиус кривизны исходного волнового фронта, а Д0 - стягивающий
угол с вершиной в центре кривизны (см. рис. 7.8).
Рис. 7.8. Геометрия волновых фронтов и лучей.
(Геометрия лучей показывает, что радиус кривизны волнового фронта на
расстоянии s вдоль луча равен (Rt + s) и стягивающий угол остается равным
Д0.) Поэтому
Фо(х) _ (_R1'/2 Ф0(Х0) \Ri + s )
В случае трех измерений из дифференциальной геометрии следует, что
элемент площади волнового фронта пропорционален гауссовой кривизне
АЛ0 с/э RiRz, с/о (7?j -f- s) (R2 + s),
где 7?! и R2 - главные радиусы кривизны исходного волнового фронта.
Следовательно,
Фр (х) _ / Т?| /?2_1 /2
Фо (х0) \ (i?i-)-s) 0R2-p s) J
Каустики
В точках, где исходный волновой фронт является вогнутым, лучи образуют
огибающую, как показано на рис. 7.9. Она обычно имеет заостренную форму,
и область между двумя дугами трижды покрывается лучами, что напоминает
Предыдущая << 1 .. 80 81 82 83 84 85 < 86 > 87 88 89 90 91 92 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed