Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно, луч с исходным углом 0О в точке (а;0, у0) определяется
равенством
г-.т0= \-_c(^)coseo/co _ d". (7.75)
l/Ч- с2 (р) cos2 0о/с^
I/O
Время прибытия волнового фронта вычисляется по формуле
а= ( *.= ------ dlJ (7.76)
J С J с-р2 J С (//) 1 С2 (j/) COS2 0Оу Cq
и г/с уо
Следует отметить, что все, что мы действительно использовали
при выводе этих результатов,- это закон Снеллиуса; мы рас-
сматривали его с более общей точки зрения теории характеристик.
Кажущееся безобидным распределение скорости с (у) приводит к неожиданным
эффектам для лучей. Отметим два примера.
Волновод в океане
Предположим, что функция с (у) имеет вид, указанный на рис. 7.10, так что
с изменяется только внутри слоя | у | < Y,
с = Ci вне зтого слоя и с < сг внутри слоя, достигая минимума с0 при у =
0. Рассмотрим лучи от точечного источника, расположенного в точке х = у =
0.
Когда с возрастает вдоль луча, то одновременно возрастает cos 0 = с cos
00/с0 и, следовательно, 0 убывает, луч поворачи-
Гл. 7. Волновое уравнение
244
вается, приближаясь к горизонтали. Если 0О > arc cos (cq/cj), то луч
проникает в область с = сг и дальше идет по прямой. Однако если 0О < arc
cos (с"/сх), то cos 0 возрастает до 1 и 0 убывает до О в точке у, для
которой
В этой точке луч горизонтален, затем он пересекает минимальное значение
с, и все повторяется симметрично относительно оси х. Таким образом, эти
лучи осциллируют около оси х, как показано на рис. 7.10.
Канал | у | < Y образует своего рода волновод, и через точки, лежащие
внутри его и достаточн одалекие от источника, может проходить несколько
накладывающихся лучей. Поэтому геометрическая оптика предсказывает
последовательное повторение сигналов. Кроме того, при помощи (7.76) можно
показать, что сигналы, распространяющиеся по периферии, могут появиться
раньше, чем сигналы, распространяющиеся вдоль центральной линии. Они
проходят больший путь, но выигрывают в скорости распространения. В такой
ситуации значения амплитуды, получаемые при помощи геометрической оптики,
неверны и следует обратиться к более точному рассмотрению (см., например,
недавнюю работу Коэна и Блюма [1]).
Для источника, расположенного ниже максимума функции с" как изображено на
рис. 7.11, аналогичным образом можно пока-
Зоны тени
с
Рис. 7.11. Образование зоны тени.
зать возможность образования зоны тени, в которую лучи не проникают.
Такой случай приведен на рис. 7.11.
7.8. Неоднородная среда
245
Распространение энергии
Модификации уравнения (7.66) зависят от конкретной задачи и от того,
какая физическая величина обозначена символом ф. Замечательно, что в
любом случае поток энергии вдоль трубки лучей остается постоянным. Мы
проверим это для акустики в неоднородной среде.
Чтобы не усложнять анализ, рассмотрим первоначально неподвижную жидкость
с постоянным давлением при отсутствии массовых сил, но с произвольным
распределением плотности р (х). Можно представить себе нагретый слой
жидкости, в котором гравитационные эффекты имеют высший порядок, и ими
можно пренебречь. Линеаризованные уравнения 1) для возмущения давления Р,
возмущения плотности R и возмущения скорости V имеют вид
Если V и R разложены в аналогичные ряды, то коэффициенты Vn и Rn можно
определить по Рп и о, возвратившись к исходным трем уравнениям первого
порядка в (7.77). В частности,
Уравнение для Р0 (х) можно записать в дивергентной форме
Rt + V-(pV) = О,
pV* + VP = О, Pt-c*(Rt + V-VP) = О,
(7.77)
где с2 (х) - скорость звука. Для Р имеем уравнение
Используя два первых члена разложения
Р = Ъ рп (х) /" {t - о (х)},
о
находим
(7.78)
dxt
д
*) Обозначения, принятые в § 6.6, здесь изменены. Это сделано для того,
чтобы избежать недоразумений при использовании индексов, нумерующих члены
разложения вблизи волнового фронта.
Гл. 7. Волновое уравнение
246
Интегрирование по тонкой трубке лучей, как и в случае, рассмотренном
перед формулой (7.70), дает
-^2- ДЛ = const. (7.79)
За счет дополнительного множителя рс, зависящего от х, происходит
изменение амплитуды давления, которое добавляется к изменению, связанному
с расхождением лучей.
Интерпретацию левой части (7.79) как потока энергии нам удобней провести
для высокочастотного варианта геометрической оптики. Осредненная работа,
которую совершают за единицу времени силы давления, действующие на
элемент жидкости с поперечной площадью АЛ, равна
P0V0nAJ, (7.80)
где V0n - компонента вектора V, нормальная к АЛ. Согласно
(7.78),
откуда
V0n = - II • Vo = - ,
vn р рс '
р0у0га^=-ал.
рс
Таким образом, равенство (7.79) показывает, что поток энергии остается
постоянным вдоль трубки лучей.
7.9. Анизотропные волны
Когда в среде имеются выделенные направления, уравнение эйконала может
быть несимметричным по ащ. Вследствие этого лучи, определяемые как
характеристики уравнения эйконала, уже не ортогональны волновому фронту.
Если считать, что среда однородна, так что х не входит явно в уравнение
эйконала, то уравнение эйконала можно записать следующим образом:
