Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
волновой фронт определяется равенствами
с (Ф) * / , I \ с(Ф)* - / I ,\
Xi - -^- cos (и 4-Ф), Хо= - sin (и + ф).
1 COSp I -г/" z cosp vf
Исключив p с помощью формулы (7.90), после несложных преобра-
зований получим
хх = {с (ф) cos ф - с (ф) sin ф }#, (7.92)
х2 = {с (ф) sin ф + с' (ф) соэф }t. (7.93)
Соответствующая геометрия показана на рис. 7.13.
Формулы (7.92) и (7.93) можно вывести иначе, заметив, что волновой фронт
является огибающей элементарных плоских волн
хх cos ф + х2 sin ф = с (ф)?.
Такая огибающая находится совместным решением этого уравнения и
уравнения, полученного из него дифференцированием поф:
-хх sin ф + х2 cos ф = с' (ф)?.
Решение имеет вид (7.92), (7.93). Этот вывод проще, но он ограничен
однородной средой и не выявляет каких-либо свойств лучей. Мы предпочли
объединить все случаи одним методом, а именно методом характеристик для
уравнения эйконала.
Источник е движущейся среде
Чтобы проиллюстрировать полученные результаты, применим их к уравнению
(7.82). При рх = cos ф/с, р2 = sin ф/с уравнение эйконала дает
1 1 / ^ U cos ф \ 2
с2 а$ \ с /
Следовательно,
с (ф) = U cos ф + а0
для уходящей волны. Волновой фронт (7.92)-(7.93) описывается уравнениями
хх = (V + а0 cos ф)?, я* = К sin ф)?.
7.9. Анизотропные волны
251
Это окружность радиуса a0t с центром в точке, смещенной на Ut вниз по
течению, как и требуется.
Магнитная газовая динамика
Снова сравнительно безобидные на вид задачи приводят к удивительно
сложной геометрии. Интересный пример подобной ситуации возникает в
магнитной газовой динамике. В среде с бесконечной проводимостью и
однородным магнитным полем, направленным вдоль оси хг, возмущения
удовлетворяют уравнению
S - ("2 + ь2) ш v2(p + aW Щ v2(p = °- (7-94)
Уравнение эйконала имеет вид
1 - (а2 + Ъ2) р2 + а2Ъ2р\р2 - 0.
Полагая рг = cos ф /с, р - 1/с, получаем
с4 - (а2 + Ъ2)с2 + a2b2 сов*ф = 0. (7.95)
Существуют два расходящихся волновых фронта (быстрые и медленные волны) в
соответствии с увеличением порядка уравнения (7.94).
В данном случае удобно работать в полярных координатах; в силу (7.91),
волновой фронт находится на расстоянии
s = /1/с'2+с2 (7.96)
вдоль направления
Е(ф) = р(ф) + ф, tgp = ^-^. (7.97)
В силу (7.95), производная с' (ф) удовлетворяет соотношению
{2с3 - (а2 + Ъ2)с}с' - а2Ъ2 sin ф cos ф = 0. (7.98)
Пусть теперь параметр ф меняется в интервале 0 ^ ф ^ л/2, и пусть для
определенности а > Ъ.
Согласно (7.95)-(7.98), имеем при ф 0 и ф -"- л/2 следующие соотношения:
Гл. 7. Волновое уравнение
252
с -v Yа2 + Ь2, О,
аЬ
1/а2 + Ь2 '
я
Т7
, О,
Решение, соответствующее первому столбцу, имеет точки А, В на осях х1 и
х2 и дает искаженный, но представляющийся естест-
Рис. 7.14. Волновые фронты в магнитной газовой динамике.
венным расходящийся волновой фронт изображенный на
рис. 7.14. Второе решение странное. Для обоих пределов ф О и ф -v л/2
имеем | ^*¦ 0, a s является конечной величиной. Это дает точки Р и Q на
оси хг. В точке Р мы имеем ф = л/2, так что волновой фронт проходит по
касательной к оси; в точке Q мы имеем ф = 0 и волновой фронт
перпендикулярен оси. Между ф = = 0 и л/2 должен достигаться максимум или
минимум функции Поскольку | = р 4-ф, это происходит при значении ф,
определяемом уравнением
t л/аг+Ъг
используя равенство tg р = с' 1с, это условие можно переписать в виде
с" (ф) + с (ф) = 0.
7.9. Анизотропные волны
253
Можно показать, что волновой фронт имеет в этой точке заострение. Можно
показать также, что Е отрицательно. Таким образом, второй фронт имеет
удивительную форму <5%, изображенную на
Рис. 7.15. Полные волновые фронты в магнитной газовой динамике.
рис. 7.14. Несмотря на то что при ф > 0 волновой фронт локально движется
в положительном направлении оси х2, энергия распространяется в
отрицательном направлении оси х2 и как следствие волновой фронт
появляется ниже оси хг. Это удивительный пример различия между скоростью
волнового фронта и скоростью вдоль луча, между фазовой скоростью и
групповой скоростью.
Полные волновые фронты симметричны относительно осей хг л х2, и полная их
картина изображена на рис. 7.15.
Глава 8
ДИНАМИКА УДАРНЫХ ВОЛН
При обсуждении волнового уравнения было выявлено большинство основных
идей линейной теории гиперболических волн в пространствах двух и трех
измерений, и теперь мы обратимся к нелинейным эффектам. Для плоских волн
в однородной среде оказалось возможным разработать законченную нелинейную
теорию. Однако в противоположность линейной теории, которая была почти
тривиальной, здесь потребовались глубокие идеи и изощренные методы.
Значительные трудности ожидаются в задачах с большим числом измерений или
в случае неоднородной среды, где даже линейная теория становится сложной.
Цилиндрические и сферические волны все еще описываются двумя независимыми
переменными, но возникает некоторое усложнение, поскольку уравнения для
них содержат переменные коэффициенты. Аналогичная ситуация имеет место
для плоских волн в неоднородной среде.
