Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
разрыве. Полученное дифференциальное уравнение определяет зависимость М
от х.
Хотя мы уже имеем все необходимые результаты, выполним эти предписания,
чтобы продемонстрировать их простоту. Основные уравнения, описывающие
данную задачу, - это уравнения
Гл. 8. Динамика ударных волн
262
(8.1) - (8.3). Уравнение вдоль характеристик С+ имеет вид
dp . du . ра2и 1 dA or>.
-?+¦ Pa 'T'IT='°* (8'23)
Условия на разрыве определяются равенствами (8.7)-(8.9). Подставив их,
получим
^>-^+те = 0' <8'24)
где функция g (М) задана формулой (8.20). Уравнение (8.24) удобнее
переписать в виде
¦5^МЛ/)4г+44? = 0, (8-25)
где
+ (8.26)
<8'27>
Причина такого выбора состоит в том, что Я, (М) очень слабо зависит от
числа Маха. Предельные значения равны
М-+1, Л->4, (8.28)
M-voo, Я->н=1-^- = 5,0743 для у =1,4. (8.29)
Формула (8.25) впервые|была получена Чизнеллом [2] при помощи другого
подхода. Функция А (х) аппроксимировалась последовательностью разрывных
ступенек, и решение строилось с помощью анализа элементарного
взаимодействия ударной волны с каждым из разрывов. При каждом
взаимодействии ударная волна проходит ступеньку с измененной
интенсивностью и возмущения отражаются (возмущения на кривых С_ и Р в
нашем подходе). Но отраженные возмущения повторно отражаются, когда они
достигают предыдущих ступенек; эти повторно отраженные волны
накладываются на ударную волну и дают вклад в последующие взаимодействия.
Если пренебречь всеми повторно отраженными волнами, то получится
уравнение (8.25).
Чизнелл проанализировал эффект всех один раз повторно отраженных
возмущений и обнаружил, что их суммарный вклад в уравнение (8.25) гораздо
меньше, чем вклады, вносимое отдельными возмущениями. Еще до этого Мёкель
[1] применил аналогичные идеи к стационарным косым ударным волнам в
неоднородном сверхзвуковом потоке. Неоднородный поток заменялся слоями,
разделенными поверхностями разрыва; в каждом слое параметры течения были
постоянными. Решение строилось по элементарным взаимодействиям на
разделяющих слои поверхностях.
8.1. Ударная волна в неоднородной трубе
263
Хотя подход Мёкеля - Чизнелла в принципе содержит возможность
последовательного улучшения путем учета многократно отраженных волн все
более высокой кратности, не представляется целесообразным идти далее
учета один раз повторно отраженных волн. Трудно также оценить степень
приближения, с которым были решены уравнения (8.1)-(8.3). Однако
сравнительно малые изменения, вносимые один раз повторно отраженными
волнами, указывают, что соотношение (8.25) может оказаться неожиданно
хорошим. Это, как мы увидим ниже, действительно имеет место.
Когда быстрый вывод соотношения (8.25) из правила характеристик пришел
мне на ум, я надеялся, что и полный анализ этого приближения можно будет
провести на основе уравнений (8.1) -
(8.3). До сих пор это не сделано! Для того чтобы показать, в чем здесь
трудность, заметим, что характеристическое уравнение (8.23) можно
записать так:
Это точное уравнение, справедливое во всем течении, поскольку оно
является просто комбинацией основных уравнений (8.1) -
(8.3). Если к ударной волне, движущейся со скоростью U, применить
равенство (8.23), то можно утверждать, что соотношение
будет хорошим приближением на ударной волне. Объединяя уравнения (8.30) и
(8.31), видим, что это приближение основано на предположении об
относительной малости выражения
на ударной волне, т. е. о малости этого выражения по сравнению с pJU.
Малость первого сомножителя будет соответствовать предположению, что
характеристика С+ на рис. 8.1 лежит достаточно близко к ударной волне,
так что мы всего лишь переносим соотношение, справедливое на С+, на
ударную волну. Однако, хотя величина (и + а - U)/U равна нулю при М = 1,
она стремится к 0,274 (для у = 1,4) при М ->• оо. Результаты, полученные
при помощи правила характеристик, иногда оказываются в сотню раз точнее!
В случае цилиндрического или сферического сходящегося взрыва (см. ниже)
относительная ошибка составляет около 0,003. Таким образом, хотя первый
сомножитель может мало способствовать точности, правило работает хорошо,
поскольку величина
Pt
Pt
U
+ Рх + Ра + их ) Ч
раги А' (х) р.
и-\-а А (х)
(8.31)
(it-(^+раи')
(8.32)
Pt + paut Pi
(8.33)
Гл. 8. Динамика ударных волн
264
чрезвычайно мала на ударной волне. Хотя в исходной статье (Уизем [7])
были приведены дальнейшие доводы, вполне удовлетворительного объяснения
этого факта не! было найдено. Конечно, мы знаем, что этот результат верен
в теории малых возмущений, и при помощи уравнения (8.14) c F = 0 можем
проверить, что
pt + р гагщ = О
в этой теории.
Точность уравнения (8.25), лишь частично обоснованная случаем малых
возмущений и анализом Мёкеля - Чизнелла, была подтверждена сравнением с
известными решениями. Прежде всего для слабых ударных волн М ~ 1 и ^ ~ 4,
откуда
М-1" A-V\ (8'. 34)
Это согласуется с результатами геометрической акустики для слабых
импульсов, когда М - 1 пропорционально импульсу. Далее, уравнение (8.25)
