Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
При у = 1,4 мы имеем (3 = 0,21525.
Эти результаты позволяют провести еще одну проверку с точным решением.
Сакураи [1] исследовал автомодельные решения этой задачи в случае, когда
р0 сл ха. Он обнаружил, что в этом случае U оо х~х, и нашел величину %
для различных значений а. Его значения отношения Х/а приведены в табл.
8.2 и сравниваются с р. Хотя приближение и не столь хорошо, как для
задачи о сходящейся ударной волне, оно все еще остается удивительно
точным.
Таблица 8.2
V а - 2 а = 1 а= 1/2 Р
5/3 0,21779 0,22335 0,22820 0,23608
7/5 0,19667 0,20214 0,20704 0,21525
6/5 0,16545 0,17040 0,17498 0,18301
Следует все время помнить, что мы ограничиваемся кругом задач со
значительными локальными изменениями ударной волны. Для экспоненциального
убывания плотности также можно найти автомодельные решения и сравнить их
с нашим приближением. Сравнение было проделано Хейзом [1], и разность
показателей достигает 15%. Мы относим это за счет того, что
экспоненциальное изменение плотности не связано с такими сильными
локальными эффектами, как степенной закон с ро^-0 для конечного значения
х.
Задачу, рассматриваемую в этом параграфе, первым изучал Чизнелл (1]. Он
использовал подход последовательных взаимодействий и в случае р0 = const,
.fF" = 0 нашел малые поправки за счет однократных повторных отражений.
Как и прежде, было обнаружено благоприятное взаимное погашение вкладов.
Гл. 8. Динамика ударных волн
268
8.3. "Геометрическая динамика" ударной волны
Обратимся теперь к развитию приближенной геометрической теории
распространения ударных волн в двух- и трехмерных задачах при отсутствии
специальной симметрии (Уизем [6, 9]). Рассмотрим ударную волну,
распространяющуюся в однородном неподвижном газе, и, опираясь на
результаты геометрической оптики для линейных задач, введем "лучи",
определяемые как ортогональные траектории последовательных положений
ударной волны.
В качестве частного примера рассмотрим дифракцию ударной волны на
закругленном угле, изображенную на рис. 8.2. Положения ударной волны
показаны сплошными кривыми, а лучи - штриховыми. Идея состоит в том,
чтобы рассматривать распространение каждого элемента ударной волны по
каждой элементарной трубке лучей как задачу о распространении ударной
волны по трубе с твердыми стенками.
Рис. 8.2. Положения ударной волны (сплошные кривые) и лучей (штриховые
кривые) при дифракции ударной волны на закругленном угле.
Эквивалентность была бы полной, если бы лучи были траекториями частиц,
поскольку твердые стенки являются траекториями частиц для невязкого
течения. Однако это верно только приблизительно. В силу условий на
разрыве, возмущенное течение непосредственно за ударной волной должно
быть нормальным к ней, но по мере удаления от ударной волны траектории
частиц в общем случае отклоняются от лучей. Таким образом, здесь
используется определенное приближение, причем оно может быть довольно
грубым. Однако только таким или каким-либо подобным способом
геометрические эффекты можно выделить из полной сложной картины течения.
В задаче о дифракции на угле (рис. 8.2) сама стенка на всей своей
протяженности является как лучом, так и траекторией частицы; поэтому
возникает некоторое дополнительное препятствие отклонению луча от
траектории частицы позади ударной волны.
Точность приближения такого типа трудно оценить заранее, а приближения
высших порядков практически невозможны. Как
8.3. "Геометрическая динамика" ударной волны
269
оправдание мы покажем, что эта теория сводится в точности к
геометрической оптике для линейных задач, и сравним нелинейные результаты
как с другими теоретическими результатами для частных случаев, так и с
экспериментом. Возможно, стоит заметить, что приближения, которые легко
оценить, обычно связаны с малыми возмущениями. Здесь мы рассматриваем
эффекты больших возмущений в чрезвычайно сложных задачах.
Приближение трубок лучей не зависит от способа рассмотрения
распространения но каждой из трубок. Однако мы предполагаем, что
локальное число Маха будет функцией от. площади сечения трубки, и за
отсутствием какой-либо другой явной формулы воспользуемся результатами §
8.1, в частности соотношением
(8.37). Положение ударной волны в момент времени t удобно описывать
равенством
а (х) = a0t, (8.43)
где а0 - невозмущенная скорость звука. Тогда последовательные положения
ударной волны задаются семейством поверхностей а (х) = const. Ясно, что в
принципе мы можем определить функцию а (х). Во-первых, при помощи
равенства (8.43) можно выразить число Маха ударной волны в любой точке
через а (х). Во-вторых, по функции а (х) должно быть возможно определить
всю геометрию лучей, поскольку она описывает семейство положений ударной
волны: это позволяет найти площадь сечения трубки лучей. Тогда
соотношение между А и М обеспечивает переход к выводу уравнения для а
(х).
Нормальная скорость любой движущейся поверхности S (t, х) = = 0 была
указана формулой (7.63). Если применить зто соотношение к S - a0t - с/,
