Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
можно применить к сходящимся цилиндрическим или сферическим ударным
волнам, положив А оо х0 - -х или (х0 - х)г соответственно, и сравнить
полученные результаты с точными автомодельными решениями Гудерлея,
описанными в § 6.16. Для бесконечно сильных ударных волн Устремится к
значению ге, определяемому соотношением (8.29), и уравнение (8.25)
принимает вид
те+4^ = 0' (8.35)
Следовательно, правило характеристик дает
М оо г~^!п для цилиндрических ударных волн,
Мсог2/п для сферических ударных волн. (8.36)
Сравнение с показателями точных автомодельных решений проведено в табл.
8.1. Точность удивительная, учитывая простоту приближенной теории. Кроме
всего прочего, она показывает, что сходящиеся ударные волны реагируют
прежде всего на изменяю-
Таблица 8.1
Цилиндрическая волна Сферическая волна
V Приближенно Точно Приближенно Точно
6/5 0,163112 0,161220 0,326223 0,320752
7/5 0,197070 0,197294 0,394142 0,394364
5/3 0,225425 0,226054 0,450850 0,452692
8.2. Ударная волна в стратифицированном слое 265
щуюся геометрию, как и предполагается в приближенной теории, а дальнейшие
возмущения от источника влияют на них очень мало; интенсивность исходной
ударной волны входит только в коэффициент пропорциональности в
соотношениях (8.36). Это не имеет места для расходящихся ударных волн.
Они будут замедляться за счет расширения, и продолжающееся взаимодействие
с течением на большом расстоянии позади будет играть важную роль;
рассматриваемая приближенная теория не годится для таких задач.
Другой интересный момент состоит в том, что, согласно приближенной
теории, показатель для сферического случая в точности равен удвоенному
показателю для цилиндрического случая. Такое равенство неверно, однако,
для точного автомодельного решения, хотя отклонения от него чрезвычайно
малы.
С упомянутым выше частичным обоснованием и зтими независимыми проверками
мы заключаем, что в задачах такого типа правило характеристик дает
хорошее простое приближение и его можно уверенно использовать для
широкого круга задач.
Для произвольного М решение уравнения (8.25) можно записать так:
-?=ТШ' (8.37)
В частности, эту формулу можно использовать для распространения
результатов для сходящихся цилиндрических и сферических ударных волн и
включить в рассмотрение ударные волны умеренной интенсивности. Конечно,
при приближении к центру А ->- О и М -> оз. Значения функции / (М) для у
= 1,4 будут приведены в табл. 8.3 (см. стр. 278).
В следующем параграфе правило характеристик используется для задачи об
ударной волне, распространяющейся в слое с неоднородной плотностью;
дальнейшие же примеры можно найти в исходной работе (Уизем [7]). Это
правило будет также основой для геометрического подхода к двух- и
трехмерным задачам о распространении ударных волн в § 8.3.
6.Z. Распространение ударной волны в стратифицированном слое
Применим теперь этот метод к одномерной задаче о плоской ударной волне,
движущейся в аг-направлении в данной среде с равновесным распределением и
= 0, р = р0 (х), р = р0 (х). Если давление р0 (х) непостоянно, то в
данной среде должны действовать массовые силы, соответствующие градиентам
давления, и их надо
Гл. 8. Динамика ударных волн
266
включить в уравнения. Одномерные уравнения имеют вид
Pi + Щ>х + Рих - О, ut + uux + -px=$r Pt + ирх-a2 (Pt + Wx) = О,
(8.38)
где - массовая сила, отнесенная к единице массы. Для атмосферы Земли или
для внешних слоев звезд ,<F будет гравитационным ускорением. В
равновесном состоянии функции р0 (х) и р0 (х) должны удовлетворять
уравнению
и для полного определения р0 (х) и р0 (х) следует задать еще
распределение энтропии. В атмосфере SF - -g и, например, имеем
р0 (х) = ро (0) е-г*/^т0 (изотермическое состояние), -^-РГ1 <х) = с -gx
(изэнтропическое состояние)
согласно результатам § 6.6,
Применим теперь правило характеристик к распространению ударной волны в
таком слое, помня, что это правило применимо только для локальных
эффектов стратификации и должно использоваться лишь тогда, когда
дополнительные эффекты малы. Соответствующее характеристическое
соотношение можно записать в следующей дифференциальной форме:
Но мы применим его на ударной волне. Это значит, что мы используем
дифференциальное уравнение
с величинами и, р, р, а, выраженными через р0 (х), р0 (х) и число Маха
ударной волны М(х). В общем случае требуется численное интегрирование, но
для сильных ударных волн можно получить аналитическое выражение. Для
сильных ударных волн (см. (6.110)) условия на разрыве упрощаются:
dp + padu --^idx = 0 на ~^ = и-\- а.
(8.40)
8.2. Ударная волна в стратифицированном слое
267
где U - скорость ударной волны. В этом пределе скорость U сравнительно
велика и третий член в (8.40) пренебрежимо мал по сравнению с остальными
двумя. Массовая сила §- входит неявно, определяя зависимость р0 (х), и
уравнение (8.40) сводится к виду
* _^ + pJ_J?<>. = 0,
U dx г ро dx
где
Р-(2+/^5г Г- (8.41)
Отсюда
исор0-Р, р сор1'2Р. (8-42)
