Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
водоводов v0 часто превосходит эту критическую величину. Результирующий
поток не
обязательно является полностью хаотическим и лишенным какой-либо
структуры. При благоприятных условиях он принимает вид "катящихся волн",
изображенных на рис. 3.7 и образованных периодическими разрывными борами,
разделенными гладкими профилями. Первые данные наблюдений и фотографии
этого явления были получены Корнишем в 1905 г. и прекрасно описаны в
классической книге Корниш [1], суммирующей его наблюдения за волнами на
песке и на воде. Наиболее характерные данные относятся к каменному
водоводу в Альпах (Грюнбах, Мерлиген) с уклоном 1 к 14. В случае когда
средняя глубина составляла приблизительно 3 дюйма *), средняя скорость
течения оценивалась
0 Один дюйм равен примерно 2,54 см Прим. перев.
Гл. 3. Конкретные задачи
90
в 10 футов в секунду, а вся картина катящихся волн двигалась вниз со
средней скоростью 13,5 футов в секунду. Для этих данных число Фруда
Vg/yg'h{) равняется 5,6, что значительно превосходит критическое значение
2. Эти результаты дают также S/Cf = 12,5 и приводят к Cf та 0,006.
Джеффрис [1] ввел в рассмотрение условие неустойчивости и отметил, что
для гладких цементных каналов (в которых он проводил эксперименты)
коэффициент трения Cf л; 0,0025. Это значение для Cf согласуется с
общепринятым. Для такого коэффициента трения однородный поток должен
становиться неустойчивым, когда уклон S превосходит 1 к 100. Джеффрис
пришел к выводу, что его эксперименты по возбуждению катящихся воли
неубедительны, и считал, что требовались более длинные каналы с уклонами,
значительно превосходящими 1 к 100. Значительно позже Дрес-слер [1]
вернулся к этой задаче и показал, как построить нелинейные решения
уравнения (3.36) с подходящими условиями на разрыве, описывающие
катящиеся волны. Подробности будут указаны ниже после рассмотрения
вопроса о стационарном волновом профиле в устойчивом случае.
Структура ударных волн, возникающих в кинематической теории (формулы
(3.38) и (3.39)), особенно важна в задаче о паводковых волнах, поскольку
в действительности ударная волна имеет толщину порядка 50 миль! Как
обычно, для ее определения необходимо найти решения со стационарными
профилями в более подробном описании, которое в данном случае
обеспечивается уравнениями (3.37). Будем искать решения, для которых
где уравнение (3.46) получено интегрированием уравнения неразрывности, а
В - постоянная интегрирования. Однородные состояния (hu уД при X = оо и
(h2, v2) при X = - оо удовлетворяют равенствам
hi (U-vl) = h2(U - v2)-B.
Выразив все характеризующие поток постоянные через hx и h2,
Моноклинальная паводковая волна
h = h (X), v = v (X), X - х - Ut. Тогда уравнения (3.37) принимают вид
(3.45)
(3.46)
h (U - v) = B,
3.2. Паводковые волны
91
U--
получим
! | =- tfl'u I's (Н.47)
•в-(^)''А-(тг)',!^ртЙрт- (3'48)
уф2 - щ1Ц ( g'S \1/2 /il/2-/)i'2 /о /п\
/г 2 - /г 1 \ С/ J /г2 - /?1 * *¦ ' '
Последнее из этих равенств в точности совпадает с условием на разрыве в
кинематической теории - с равенством (3.39). Это естественно, и следует
ожидать, что решения уравнений (3.45) и (3.46) будут описывать структуру
таких кинематических ударных волн.
После исключения v из уравнений (3.45) и (3.46) уравнение для h (X)
принимает вид
(3-50)
Поскольку числитель должен обращаться в нуль при h = hx и h = h2, эти
величины должны быть корнями кубического уравнения. Тогда третий корень
равен
г, _ Cj_ В2 1ц112
~ S g'hih-2 ~~ (h\/2 + h\/2f '
Поскольку Н < hl4 h2 и решение h принимает значения в интервале между hx
и h2, в рассматриваемом решении этот третий корень h = И никогда не
реализуется.
Теперь уравнение (3.50) можно переписать в виде
dll ^ (li2 {h ^l) (h dl) 51)
dX It3 - B2,g' ' \ • I
и поведение решения определяется знаком знаменателя hs - B2/g' и
соответствующим возможным изменением этого знака на профиле. В силу
равенства (3.46), имеем
g'h3 - В2 = g'hs - (U - v)2h2 = h2 {g'h - (U - г7)2};
знак этого выражения зависит от того, какое из неравенств U sS v + Vg'h
справедливо. (Из (3.48) следует, что В > 0, откуда, в силу (3.46), U > v,
так что U всегда больше, чем v - У g'h.) Когда h2 -> hu из (3.49)
следует, что Т1 3 / g'S \*/2 ,3
и-*Т\Гст) 1 Т^1'
В устойчивом случае 3/2 их <; иг -\- У g'hь поэтому в случае слабых волн
для интегральной кривой уравнения (3.51) при h = ht, X = оо знаменатель в
(3.51) отрицателен. В соответствии с этим hx > 0, h возрастает, g'h3 - В%
остается положительным и полу-
Гл. 3. Конкретные задачи
92
чается гладкий профиль, изображенный на рис. 3.8. Это так называемая
моноклинальная паводковая волна. Тот факт, что для этого профиля
необходимо условие h2 > hl7 согласуется с тенденцией к опрокидыванию
кинематических волн, поскольку в данной задаче с' (h) > 0. Гладкий
профиль такого типа может
Рис. 3.8. Структура моноклинальной паводковой волны.
существовать, когда скорость распространения ударной волны лежит в
