Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
д\ ..дЕ. I (2.85)
dxi dxj dp] 1 Зф dxi r dxi
Сравнивая (2.84) и (2.85), видим, что особенно выгодно выбрать кривую
положив
Ж=Ж- {2Щ
В зтом случае равенство (2.84) с учетом (2.85) приводится к виду
dpt дН дН icy Q7\
tst* ( }
х) Мы пользуемся соглашением о суммировании по повторяющемуся индексу в
пределах 1, . . ., п.
2.13. Нелинейные уравнения первого порядка
71
Добавим еще уравнение
' <2-88>
тогда уравнения (2.86)-(2.88) образуют полную систему из 2п + 1
обыкновенных дифференциальных уравнений, определяющих "характеристики"
?i(k) и значения ф и р; вдоль них. В принципе решение во всей области
можно получить, интегрируя эти уравнения вдоль характеристик, покрывающих
данную область.
В частном случае квазилинейного уравнения Н = сг (ф, x)pt - - Ъ (ф, х) и
уравнения (2.86) и (2.88) сводятся к уравнениям
^ = Мф,х),
-§- = рЛ = Ь( Ф,х),
которые можно решить независимо от (2.87). В наших предыдущих
рассуждениях одной из переменных хг было время /, соответствующий
коэффициент Ci был равен единице, а параметром % служило само время t.
Глава 3
КОНКРЕТНЫЕ ЗАДАЧИ
В этой главе основные идеи, изложенные выше, применяются для подробного
изучения физических задач, обсуждавшихся в § 2.2. В то же время эти общие
идеи получают дальнейшее развитие на основе конкретных уравнений.
Приложение изложенных выше идей к потоку транспорта было дано независимо
Лайтхиллом и Уиземом [1] и Ричардсом [1]. Ясно, что в этом случае
скорость потока
должна быть убывающей функцией р, начинающейся с конечного максимального
значения при р = 0 и стремящейся к нулю при
Рис. 3.1. Зависимость расхода от плотности для потока транспорта.
р -pj-, значении, при котором машины упираются бамперами одна в другую.
Таким образом, Q (р) обращается в нуль при р = 0 и р = р7- и достигает
максимального значения qm при некотором промежуточном значении плотности
рт. В общем случае
3.1. Поток транспорта
Q
Чт
Р
3.1. Поток транспорта
73
это выпуклая функция, изображенная на рис. 3.1. Реальные наблюдения за
потоком транспорта показывают, что для однорядного движения характерны
следующие значения: р} ~ 225 машин на милю*), рт 80 машин на милю, qm ~
1500 машин в час. Для автострад эти величины в первом приближении можно
умножить на число полос движения. Интересно, что, согласно этим цифрам,
максимальная величина расхода qm достигается при малой скорости порядка
20 миль в час.
Скорость распространения возмущений равна
с (Р) = 0' (р) = V (р) + рР' (р).
Поскольку V' (р) < 0, эта скорость меньше скорости движения машин; волны
распространяются назад по потоку транспорта, предупреждая водителей о
помехах впереди. Скорость с равна наклону (q, р)-кривой, так что волны
распространяются вперед, относительно дороги при р < рт и назад при р >
рт. При максимальном расходе р = рт и волны неподвижны относительно
дороги, так что скорость распространения относительно машин также-равна
qm/pm ~ 20 миль в час.
Поведение потока вблизи точки р = р;- можно примерно описать, учтя время
реакции. Если предположить, что водителю (и его машине) требуется время б
для того, чтобы отреагировать на изменение условий движения впереди, то
для безопасности движения машины должны держаться одна от другой на
расстоянии Е8. Если h - интервал, определяемый как расстояние между
передними бамперами двух соседних машин, a L - характерная длина машины,
то приходим к равенству
6 '
Поскольку h = 1/р, L = 1/рц имеем
у(р)=т(т-1)'
Эти равенства следует рассматривать лишь как оценку наклона кривой Q (р)
в точке а не как действительное предсказание линейной зависимости от р.
Во всяком случае, из последнего равенства следует, что в зтой точке
скорость распространения возмущений cj = - L/8. Для реального потока
транспорта б обычно лежит в интервале 0,5 - 1,5 секунды, хотя при других
обстоятельствах время реакции человека может быть намного меньше. Считая
L равной 20 футам 2), а б равным одной секунде, получаем с} -14 миль в
час.
х) Напомним, что сухопутная миля равна примерно 1,6 км.- Прим. перев.
2) Напомним, что фут равен примерно 30,5 см.- Прим. перев.
Гл. 3. Конкретные задачи
74
Гринберг [1] показал, что данные, полученные для туннеля Линкольна в Нью-
Йорке, хорошо описываются формулой
где а = 17,2 миль в час, р j = 228 машин на милю. При такой зависимости
относительная скорость распространения возмущения V - с равна постоянному
значению а при всех значениях
плотности. Величины рт и qm равны 83 машины на милю и 1430 машин в час
соответственно. Логарифмическая формула не дает конечного предела для V
при р -"- 0, но справедливость зтой теории для очень малой плотности
движения сомнительна, так что этот ¦факт сам по себе не важен. В случае
конечного максимума V и конечных значений V' (р) мы имеем с -"¦ V при р -
0 и следует ожидать, что с уменьшением плотности V - с убывает.
Поскольку функция Q (р) выпукла вверх, Q" (р) < 0 и с сама является
убывающей функцией от р. Это означает, что локальное увеличение плотности
