Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 29

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 215 >> Следующая

Ш положить
Су - Р (ж), сп = 0 (п > 1)5 при t = 0.
В этом случае дополнительные функции Ф (у) равны нулю для решений сп, п >
1. Первые три функции сп имеют вид)
С1 = Р(У), с2= - tP(y)P,(y),
с3= ^-(Р*Р'У.
Ясно, что в общем случае сп содержит член вида tn~xRn (у). Следовательно,
последовательные члены предполагаемого ряда для с имеют порядок antn~l и
ряд не может сходиться равномерно при I -оо.
Недостаток линеаризованной теории, отчетливо проявляющийся при нахождении
членов высших порядков, заключается в том, что она аппроксимирует
характеристики семейством прямых х - c0?= const. Незначительные
отклонения истинных характеристик друг от друга приводят к большим
смещениям при t ->¦ оо. Правильное решение можно записать в виде
телескопической
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
62
функции
с = с0 -f- еР (х - ct) =
= с0 еР (х - [с0 4- eP]t)
и т. д. Используя формальное разложение в ряд Тейлора, можно теперь
получить разложение решения в ряд по степеням возмущения.
2.11. Задача с краевым условием; распространение сигнала
Мы подробно исследовали решение задачи Коши. Другие граничные задачи
решаются аналогичным образом. Из уравнений (2.4) ясно, что решение
определено, если значения р заданы на какой-либо кривой, пересекающей
каждую характеристику один раз.
t
х
Рис. 2.18. Характеристики и начальные данные.
Такие граничные значения дают начальные условия, необходимые для
интегрирования уравнений (2.4) вдоль характеристик. Проведя такое
интегрирование в,п,оль каждой характеристики, пересекающейся с заданной
граничной кривой, в принципе можно построить решение во всей области,
покрываемой этими характеристиками. Если граничная кривая пересекает
некоторые характеристики дважды, как, например, кривая ABC на рис. 2.18,
то начальные данные следует задавать только на дуге АВ или ВС; в
противном случае интегрирование, начинающееся, скажем, на дуге АВ,
приведет к противоречию с данными на дуге ВС. Трудность заключается в
том, что характеристики зависят от решения, и, вообще говоря, заранее
нельзя ни найти область, покрываемую характеристиками, ни проверить
непротиворечивость краевых условий.
2.11. Задача с краевым условием
63
Типичной граничной задачей является так называемая задача о
распространении сигнала, для которой р = р0 при х > 0, t = О, р = g (t)
при t > 0, х = О,
и решение ищется в области х > 0, ? > 0. Конечно, такая задача
возникает только в случае с = Q' (р) > 0. На рис. 2.19 построена
Рис. 2.19. (г, <)-диаграмма для задачи о распространении сигнала.
соответствующая {х, ^-диаграмма. Характеристики начинаются на
положительной полуоси а: и на положительной полуоси t. Для характеристик,
начинающихся на оси х, имеем р = р0, с - - с (Ро) = со! поэтому они
представляют собой прямые х - -c0t = const. Отсюда следует, что
Р = Ро" с = со ПРИ х > cot. (2.62)
Обратимся к характеристикам, начинающимся на оси t, и предположим, что
какая-либо из них начинается в точке t = т; тогда
р " 8 (т)' (2.63)
х = G (т) (t - т),
где G (т) = с {# (т)}. Приведенные равенства неявно определяют решение
через т (х, t).
Это решение можно связать с решением задачи Коши двумя способами. Первый
из них основан на том, что рассматриваемое решение совпадает с решением
задачи Коши, если
I = _ %G (х), f(t)=g (т), F(l)=G (т). (2.64)
Это соответствует продолжению характеристик через точки t - т, х = 0 до
оси х и обозначению точек пересечения через х = ?. При этом задача о
распространении сигнала формулируется как задача Коши. Другой способ
состоит в том, что переменные х и t, а также
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
64
q и р меняются ролями х); при этом в формулах вместо dqfdp - с появится
dp/dq = 1/с.
Каждую область многозначности в решении (2.63) следует заменить разрывом.
Если G (+0) > с0, такая область возникает мгновенно, поскольку первая
характеристика х - tG (+0) возмущенной области находится впереди
последней характеристики х = c0t невозмущенной области. В этом случае
разрыв ненулевой величины возникает в начале координат. Параметры разрыва
можно определить при помощи соответствующей задачи Коши или используя
описанные выше способы,или независимым образом. Если характеристики (t) и
т2 (t) пересекаются на разрыве в момент времени t, то из (2.63) получаем
5 (t) = (t- tJcj, сх = G(тх), (2.65)
s (?) = (t т2) с2 , с2 = G (т2)" ж формула, соответствующая формуле
(2.60), имеет вид
Т2
{(ga - Р2С2) Cl - (gi- Р1С1) C2> = - j q (t) dx. (2.66)
XI
Уравнения (2.65) и(2.66) дают три условия, определяющие функции 'ti (*)>
т2 (t) и 8 (*)• Наиболее важен случай, когда передний разрыв образуется
в начале координат (т. е. когда G (+0) > с0)
и перемещается в невозмущенную область. В этом случае рх = р0,
•сх = с0, ql = q0 и из равенств (2.65) и (2.66) можно исключить величину
тг Опуская индекс 2, запишем условие (2.66) на разрыве в виде
X
{(? - go) - (Р - Ро) с} (t - т) = - j {q (т') - д0) dx'. (2.67)
о
Здесь р, q и с - функции т, определяемые равенствами
Предыдущая << 1 .. 23 24 25 26 27 28 < 29 > 30 31 32 33 34 35 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed