Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Р = g (Т), д = <? (g (т)), С = Q' (g (т));
все зти функции связаны между собой известным образом, и если •одна из
них задана как функция от т, то для других получаются явные выражения.
Уравнения (2.63) определяют решение в возмущенной области за разрывом;
равенство (2.67) определяет величину т (t) в точке разрыва; подставив эту
величину в уравнения (2.63), найдем как местонахождение разрыва, так и
значение р сразу за ним.
В начале движения разрыва значение т (?) в (2.67) мало и Юг - go) - (Рг -
Ро)сг} (t - т) = - (qt - q0) т + Q (т2),
г) В этом случае "начальные данные" на прямой х =0 при t < 0 принимают
вид р (0, г) = р".- Прим. ред.
2.11. Задача с краевым условием
65
где рг, qi и сг - начальные значения при х = 0, т. е. рг = g (+0) и т. д.
Следовательно,
т = (1 _ "1=Д;г_ ) t + О (/2).
I (Рг-Ро) ct / v '
Из (2.63) находим точку разрыва
.г- = (t - т) ct + О (tz) = p.;Zp"-1 + 0 (*2)-
Разрыв начинает движение со скоростью (qi - <7о)/(Рг - Ро)> этот
результат можно получить и непосредственно из условия на разрыве. Если g
(т) остается постоянной и равна рг, то зто верно для всех t и решение
имеет разрыв, распространяющийся с постоянной скоростью и разделяющий две
однородные области с р = р0 и р = Рг-
Если g (т) переходит в р0, то разрыв неизбежно исчезает. Для единственной
положительной фазы g (т), переходящей в р0 при т = Т, асимптотическое
поведение описывается соотношением
(2.67) при т -Т, t->- оо, р -> р0. В этом пределе (2.67) принимает
вид
т
4 с' Сро) (р- Ро)2 t ~ j {q (т') - g0} d%\
о
и выражение в (2.63), определяющее положение точки разрыва, переходит в
х ~ c0t + с' (р0)(р - Ро) t.
Следовательно, в точке разрыва
1 ,/"2А _ /гТА
с'(Ро) * t ' с с° ~ V t ' (2.68)
х~ c0t-\- Y 2At,
-Ро-
где
А = с' (ро) | (q-q0)d%.
(2.69)
В области за разрывом
с ~ у, c0t <Z х <Z c0t -f- YZAt,
_ ^ (c-cp) 1 x-Cpf
6 P° ~ c' (po) ~ c' (po) t
Эти результаты очень похожи на аналогичные результаты для задачи Коши.
Таким же образом можно изучить и другие случаи. Если за положительной
фазой следует отрицательная фаза, то существует
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
66
второй разрыв, асимптотическое поведение которого описывается
соотношениями (2.68), где А заменено на соответствующий интеграл по
отрицательной фазе и должным образом изменены знаки. В пределе получается
ТУ-волна, описываемая соотношениями (2.69), продолженными вплоть до
второго разрыва.
2.12 .Более общие квазилинейные уравнения
Общее квазилинейное уравнение первого порядка линейно по р, и рж, но
может содержать свободный член. Коэффициенты при pt, рж и свободный член
могут быть произвольными функциями переменных р, х и t. Если коэффициент
при рг отличен от пуля, то уравнение можно разделить на зтот коэффициент
и записать в виде
Pi + ф* = Ъ, (2.70)
где бис - функции переменных р, х и t. Решение такого уравнения опять
можно свести к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений
вдоль характеристик, представив (2.70) в виде
%=b{p,x,t), ^ = c[p,x,t). (2.71)
В частности, задача с начальными условиями р = /(ж), г=0
решается интегрированием системы двух обыкновенных дифференциальных
уравнений (2.71) с начальными условиями
р = / (I), х = ? при t = 0.
Каждому значению' ? сопоставляются характеристика, выходящая из точки ж =
|, и значение р на ней. Решение во всей области получается варьированием
параметра Е.
Когда Ъ -ф 0, величина р не является постоянной вдоль характеристики и в
общем случае характеристики не являются прямыми. Но метод решения по
существу остается тем же самым. Волны снова могут опрокидываться, а
характеристики в (х, ^-плоскости накладываться одна на другую. Снова
можно устранить многозначность решения, введя соответствующие разрывы.
Существует несколько интересных случаев, связанных с опрокидыванием, и
здесь мы рассмотрим два|из) них.
2.12. Более общие квазилинейные уравнения
67
Затухающие волны
В качестве первого примера рассмотрим случай
с, + ссх + ас = 0, (2.72)
где а - положительная постоянная. Запишем это уравнение в
характеристическом виде
dc dx /otov
*-=~ac' -гг=с- (2-73)
Если рассматривать задачу Коши, то первое уравнение можно
проинтегрировать:
с = e~ai f (g). (2.74)
Тогда второе уравнение принимает вид
причем х = \ при I - 0. Интегрируя, получаем
x = l + -- ~fat /(?). (2.75)
Нелинейность приводит к типичному искажению профиля волны, но
одновременно волна затухает из-за наличия в уравнении свободного члена.
Рассмотрим теперь вопрос об опрокидывании. Его проще всего исследовать,
выяснив, существует ли огибающая характеристических кривых (2.75). Такая
огибающая удовлетворяет уравнению полученному дифференцированием (2.75)
по параметру ?:
0=1+±=^/'(Ю- (2.76)
Поскольку а > 0, t > 0, это равенство может выполняться тогда и только
тогда, когда
г (I) < - а. (2.77)
Таким образом, опрокидывание происходит в том и только том случае, когда
начальный профиль имеет достаточно большую отрицательную крутизну; если
