Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уизем Дж. -> "Линейные и нелинейные волны" -> 31

Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны — М.: Мир, 1977. — 638 c.
Скачать (прямая ссылка): lineynieinelineynievolni1977.djvu
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 215 >> Следующая

же волна сжатия недостаточно крута, то затухание может предотвратить
опрокидывание.
Хотя соответствующие уравнения сложнее, чем только что рассмотренные (см.
гл. 3), неравенства такого типа определяют, окажется ли приливная волна,
распространяющаяся вверх по реке, достаточно мощной для опрокидывания и
образования боры или трение возьмет верх. В большинстве рек доминируют
эффекты трения. Однако некоторые знаменитые реки, на которых образуется
бора, имеют в устье приливные волны (дополнительно
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
6&
усиливающиеся за счет резкого сужения русла), достаточно высокие для
того, чтобы преодолеть различные эффекты трения. Теория этого явления
обсуждалась и применялась Абботтом [1]; мы вернемся к ней в § 5.7.
Волны от движущегося источника
Если в уравнении (2.70) свободный член b не зависит от р, то его можно
рассматривать как внешний источник. Особенно интересен случай, когда этот
источник движется с постоянной скоростью V. Недавно рассмотрен пример в
более сложной области магнитной газовой динамики, где волны возбуждаются
приложенной к жидкости движущейся силой (Хоффман [1]). В нашей простой
модели можно рассмотреть некоторые качественные эффекты.
Пусть
Ь = В(х - Vt),
где V - постоянная, а В (ж) - некоторая положительная функция, быстро
стремящаяся к нулю при | х | -"- оо. Будем считать, что при t - 0
величина р постоянна, р = р", и положим с0 = с (р0). Возможны два
существенно различных случая, отвечающих движению источника со
сверхзвуковой скоростью V > с0 и с дозвуковой скоростью V < с0.
Оказывается, справедлив следующий удивительный результат: •сверхзвуковой
источник не обязательно приводит к образованию ударной волны, хотя это
неизбежно для дозвукового источника. Это легко увидеть, рассмотрев
решения со стационарным профилем вида
р = р (X), X = х - Vt. (2.78)
Поскольку мы все равно интересуемся только качественными
эффектами, ограничимся частным случаем
с( + ссх = В (х - Vt). (2.79)
Тогда для решения со стационарным профилем получаем
(c-V)cx = B(X),
Y(^-c)2-|(E-c0)2= - JB{y)dy.
В сверхзвуковом случае V 1> с0 функция с равна
с= V- { (F - с0)2 - 2 J B(y)dy}1/2. (2.80)
2.13. Нелинейные уравнения первого порядка
69
Если
У-с0>{2 J B(y)dy}V\ (2.81)
то равенство (2.80) определяет гладкую однозначную функцию и разрывы не
возникают. Критерий (2.81) - неравенство, связывающее скорость V - с0 и
полную интенсивность источника
J B{y)dy.
Этот результат можно пояснить следующими рассуждениями. Если источник
движется со сверхзвуковой скоростью, то ударная волна может двигаться
вместе с ним лишь тогда, когда она достаточно сильна. Но если источник
сравнительно маломощен, то сильная ударная волна не может возникнуть и не
возникает.
Если неравенство (2.81) не выполняется, то волна (2.80) опрокидывается
при X ^ Х0, где Хп определяется из равенства
F-Co={2 ^B(y)dyy/2.
Хо
При X = X" мы имеем с = V и случайные возмущения начальных условий могут
определять и действительно определяют поведение волны. Решение не может
быть полным без тщательного учета этих возмущений. Аналогичным образом и
в дозвуковом случае решение нельзя построить без учета возмущений. В
обоих случаях обнаружено возникновение ударных волн. Этот вопрос был
подробно рассмотрен Хоффманом [1].
2.13. Нелинейные уравнения первого порядка
Рассмотрение квазилинейного уравнения подняло много вопросов, требующих
дальнейшего изучения. Прежде чем приступить к этому, заметим, однако, что
аналогичные построения, использующие характеристики, можно провести в
общем случае произвольного нелинейного уравнения первого порядка. Эти
результаты нам также понадобятся в дальнейшем.
Полезно иметь характеристическую форму для уравнения с п независимыми
переменными (xlt . . ., хп). Для этого рассмотрим функцию ф (жх, . . .,
хп), удовлетворяющую дифференциальному уравнению
Н (р, ф, х) = 0, (2.82)
Гл. 2. Волны и уравнения первого порядка
70
где р и х - векторы с компонентами рг и хь i - 1, . . п, и
(2-83)
Для введения характеристической формы зададимся вопросом: существуют ли в
^-пространстве кривые, родственные характеристикам квазилинейных
уравнений? Любую кривую 4S в ж-простра пстве можно записать в
параметрическом виде
х = х (X).
Полная производная функции ф вдоль кривой равна 1)
Зф Зф dxj dxj
dk dxj dk dk
Существует ли касательный вектор dxj/dk, играющий особую роль при решении
уравнения (2.82)? В квазилинейном случае, где Н == Cj (ф, х) Pj - Ь (ф,
х), мы положили dx;
так что d(p/d% = с}-рр, затем с помощью исходного уравнения мы нашли
-g- = fe(<p,x).
Но в общем случае величины р(- нельзя исключить из уравнения для dfp/d'k,
каким бы ни был выбор dxjld'k. Таким образом, нельзя получить
обыкновенное дифференциальное уравнение только для ф: в уравнение
обязательно войдут и р,- Однако рассмотрим теперь полные производные
вдоль кривой ^ и от рр.
dpi d f дф \ 32ф dxj
dk dk
( Зф \ 32Ф axi ,2 84)
V dxi I dxidxj dk
Дифференцируя уравнение (2.82) no xi, получаем
Предыдущая << 1 .. 25 26 27 28 29 30 < 31 > 32 33 34 35 36 37 .. 215 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed