Линейные и нелинейные волны - Уизем Дж.
Скачать (прямая ссылка):
распространяется так. как показано на рис. 3.2, и разрыв образуется на
заднем фронте. Машины движутся быстрее, чем волны, так что каждый
водитель попадает в такое локальное увеличение плотности сзади. Он должен
резко тормозить в переходной области и постепенно наращивать скорость,
покидая затор. Это, видимо, согласуется с практикой. Детали можно
проанализировать с помощью теории, развитой в гл. 2. В частности,
асимптотически волна принимает треугольную форму, изображенную на
последнем из рис. 3.2. Длина волны возрастает как t112, и величина
разрыва затухает как ?~1/2. Соответствующие аналитические выражения имеют
вид
Q (р) = яр In (р/р),
е
t= о
t=t.
Рис. 3.2. Опрокидывание волны в потоке транспорта.
Хс. (р^°* при c0t - У 2Bt < а: < c0t,
где
3.1. Поток транспорта
75
Разрыв находится в точке
х = с0<-y^2Bt, а скачки переменных с и р в этой точке составляют
1 /~2В 1 1 / 2F
С-С.-----------У-, Р-Р.~-[7мГ У-Г-
Задача о светофоре
Более сложной задачей является анализ потока транспорта у светофора. Мы
построим характеристики на (х, ^-диаграмме.
Расстояние
Они являются линиями постоянной плотности, а их наклоны с (р) определяют
значения р на них. Таким образом, задача будет решена, как только будет
построена (х, ^-диаграмма.
Предположим сначала, что зеленый свет горит достаточно долго, так что
проходящий транспорт движется свободно с некоторым значением рг <; рт.
Тогда мы можем начать с характеристик, имеющих наклон с (рг) и
пересекающих ось t в интервале АВ {рис. 3.3); АВ - часть "зеленого
периода". (На (х, ^-диаграмме ось х направлена по вертикали, а ось t по
горизонтали, как это принято в литературе по потокам транспорта.)
Непосредственно под отрезком ВС, соответствующим "красному периоду",
машины стоят с плотностью р = ру, так что характеристики имеют
отрицательный наклон с (р j). Линия, разделяющая неподвижную очередь
перед светофором и свободный поток, должна быть линией разрыва ВР, и из
условия на разрыве следует, что он распространяется со скоростью
я(р i)
Pi - Pi '
Гл. 3. Конкретные задачи
76
Когда в точке С включается зеленый свет, передние машины могут двигаться
с максимальной скоростью, поскольку перед ними плот-
Рис. 3.4. Волновая диаграмма для еле движущегося потока транспорта у
перегруженного светофора.
ность р равна 0. (Можно приближенно учесть конечность ускорения, продлив
эффективный "красный период".) Этот этап представлен характеристикой CS с
максимальным наклоном с(0). Между лучами CS и СР расположен веер волны
разрежения со всеми промежуточными значениями с. Точно на перекрестке CQ
наклон с должен быть нулевым. Но это соответствует максимуму q = qm.
Следовательно, справедливо интересное утверждение, что расход q достигает
своего максимального значения непосредственно у светофора. Разрыв BPQR
ослабляется волной разрежения и в конце-концов ускоряется и проходит
перекресток при условии, что "зеленый период" достаточно длителен. Легко
вывести критерий прохождений разрыва через перекресток. Полный входящий
поток за время BQ равен (tr + ts)qi, где tr-"красный период" ВСГ
3,1. Поток транспорта
77
a ts - часть "зеленого периода" до момента прохождения разрыва. Поток
через перекресток за это время равен tsqm. Эти два потока должны быть
равны, следовательно,
Для прохождения разрыва через перекресток и свободной работы светофора
необходимо, чтобы длительность "зеленого периода" превосходила это
критическое значение.
Если разрыв не проходит через перекресток, то поток никогда не становится
свободным и возникает пресловутая уличная пробка. Чтобы это понять,
достаточно взглянуть на (х, ^-диаграмму на рис. 3.4. Пояснений не
потребуется!
Эффекты высших порядков. Диффузия и время реакции
Существует два очевидных дополнительных эффекта, которые желательно
включить в теорию. Один из них был упомянут в § 2.4: зависимость q не
только от р, но и от рх. Это приближенно описывает учет водителем
обстановки впереди и приводит к диффузии волн. Простейшее предположение,
правильно отражающее качественное поведение, имеет вид
Q = Q{ Р) -1' = П(р) - -^Ря, (3.1)
и нет оснований для введения более сложных выражений.
Второй эффект - наличие интервала времени между изменением условий
движения и реакцией водителя и его машины. Один из возможных способов
учета этого эффекта заключается в том, чтобы рассматривать выражение для
о в (3.1) как желаемую скорость, к которой стремится водитель.
Следовательно, для ускорения можно принять формулу
vt+wx= -^ (у - Е(р)+-^ рх} . (3.2)
Коэффициент т характеризует время реакции и схож с величиной б,
упомянутой выше. Уравнение (3.2) следует решать совместно с уравнением
сохранения
Р/ + (Pv)x = 0. (3.3)
Когда v и т, выраженные в подходящих безразмерных единицах, малы,
уравнение (3.2) аппроксимируется равенством v - V (р), и мы имеем более
простую теорию. Когда в уравнении (3.2) учитываются члены высших
порядков, следует ожидать появления ударных волн в виде сглаженных
