Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
§4.2. Усиление попутной и уходящей волн
Пусть волна частоты Co1 распространяется вместе с импульсом накачки, M1 = ы3, а другая волна уходит в сторону его хвоста со скоростью U2 < и3. Решение этой задачи обсуждалось различными авторами для процессов параметрического усиления, вынужденных рассеяний, распадной неустойчивости [14—16]. В интегральном виде оно описывается формула-
5. А.П. Сухоруков
65 ми (4.7), (4.8) с представлением функции Римана через функцию Бесселя мнимого аргумента (4.18). В дальнейшем основное внимание мы уделим анализу усиления квазинепрерывных волн (Ej = ?/0), когда наиболее четко проявляются нестационарные по импульсу накачки эффекты.
Если на вход среды подаются короткие импульсы слабых волн, длительность которых меньше длительности ОСНОВНОГО импульса, Tf <т3, то на начальном этапе усиления происходит диффузионное расплывание узких пакетов. Оно будет идти до тех пор, пока слабые волны не достигнут периферии импульса накачки. На расстояниях z > Zt23 возникают нестационарные эффекты, связанные с ограниченностью во времени высокочастотного импульса. В этой области параметрическое усиление носит неустановившийся характер. При больших коэффициентах усиления из (4.7) с учетом (4.18) можно найти асимптотические выражения для амплитуд попутной (U1 =и3) и уходящей (и2 =^M3) волн:
A1 -E3(Ti3) IE10Ч (J1J2)1I2 E20] ехр [G(T73jZ)],
A2 ~ [E2о + (JiIJi)tl2E10] ехр [G(V3, z)], (4Л9)
гдє tj3
G = 2 [ті J2 Zv231 f rff IE3 (f) |21112 (4.20)
Т),
- коэффициент параметрического усиления в неустановившемся режиме. На расстояниях, превышающих групповую волну (z > /г 23), функция усиления (4.20) расплывается во времени и ее максимум перемешается вдоль характеристики rjcp = t — z/«cp, где иср = Im2U3Ku2 + и3). Качественно такую форму имеет и распределение амплитуды уходящей волны (рис. 4.2), так как A2 t^ ехр G. Максимальная величина усиления при z > /т23 зависит от полной энергии импульса накачки W30:
Cmax = 2(угу2 W30zj\ P23I)1 (4.21)
Если учесть, что W30 « E30 T3, то (4.21) можно придать другой вид: Gmax = = 2Г0 (ZZr23)1'2.
Попутная волна усиливается строго в области, занимаемой основным импульсом, A1 E3 (TJ3) ехр G. В силу свойств функции усиления (4.20)
она локализуется вблизи хвоста основного импульса, т.е. там, где выходит вторая волна.
Представленная картина развития конвективной неустойчивости волнового пакета получена без учета диссипативных механизмов. Если положить для простоты S1 = = 62, то в (4.19), как нетрудно показать (см. (2.55)), появится экспоненциальный член ехр(-S1Z). Так как нестационарное
Рис. 4.2. Профили интенсивности попутной (7) и уходящей (2) воли, усиливаемых в поле импульса накачки (5)
66' усиление (4.21) развивается в пространстве более медленно (G <*> z1/2), то, достигнув наибольшей величины порядка !(JiJ2W30ISlI V23 I ) 1^2 на расстоянии Is = 7i 72 ^30/5? I V73 I , оно затем ослабевает и пропадает на длине 4/g. Этот вывод относится к усилению слабых волн, падающих на границу нелинейной среды. Если же в среде действуют объемные источники, восполняющие потери энергии, то поглощение приводит к установлению стационарного распределения полей слабых волн.
Рис. 4.3. Квазистационарные огибающие попутной (/) и уходящей (2) волн при распадной неустойчивости прямоугольного импульса (J) в диссипативной срсдс
Рассмотрим простой случай, когда в отсутствие параметрических взаимодействий (E3 = 0) излучение на частотах со і и а>2 равномерно занимает все пространство. Такое равновесное состояние, как видно из уравнений (4.1), обеспечивают объемные источники,с Nj = Ej0ISj. Найдем теперь квазистационарные распределения амплитуд слабых волн, формирующиеся на расстояниях z > Полагая в (4.1) производные по координате г равными нулю, приходим к уравнению для амплитуды уходящей волны
/ті 7з 1*з1г Л . . , с1 с *
V23 —— -I-:--O2M2 + O2?20 -ii2t3t10
OVi \ Si /
Попутная волна имеет простую связь с уходящей:
A1 = -/7t E3AHbl + E10. Уравнение (4.22) решается в общем виде S2 -
(4.22)
(4.23)
A2 - E20 —
X
ехр -
(-
V2 3
52У V23
f dy [J?20 - i-y2El0E3(v3 у)] x
Ti 72 S1^23
f dt\E3\
V ~ у
(4-24)
В поле импульса волны накачки прямоугольной формы амплитуда уходящей волны нарастает от фронта к хвосту (для простоты полагаем ?1О=0; см. также [17]):
Ал = E-
° 0 " Il2 )
1
г2 * о
ехр (5
l-rg
S1S2
V^v23
о:
(4.25)
5*
67 (О < Г)3 < т3), и затухает вне области накачки (т?3 > т3), стремясь к равновесному значению A2 = E20 + A2 (т3) ехр (—S2Tj3 jv2 3). Порог возникновения квазистационарного распределения (4.25) Г0 > S1S2 такой же, как при стационарном усилении плоских монохроматических волн. На рис. 4.3 представлены графики квазистационарных профилей огибающих слабых волн при конвективной неустойчивости прямоугольного импульса.
§ 4.3. Усиление уходящих ВОЛН, Vi3V23 > О
В предыдущих параграфах было показано, что снос энергии одной из слабых волн из импульса накачки приводит за групповой длиной /т2з к сильному замедлению параметрического усиления: вместо G = Г0г для квазистационарного режима имеем G я» Г0 (Zl723) l^2 в нестационарной области. Если и вторая волна выходит из области взаимодействия с накачкой, причем в ту же сторону, что и первая, то экспоненциальное нарастание амплитуд за групповыми длинами It і з , Z7- 2 з прекращается.
