Нелинейные волновые взаимодействия в оптике и радиофизике - Сухоруков А.П.
ISBN 5-02-013842-8
Скачать (прямая ссылка):
/23 * /ког/'нл » IID23Acol, (3.17)
которая, как показано в § 3.3, является длиной нелинейно-дисперсионного расплывания волновых пакетов в параметрическом преобразователе частоты.
Так как /нл ^ / ког, то I23 > Ikot . Это означает, что в нелинейном режиме дисперсия среды проявляется позже, чем в линейном случае (3.13). Иными словами, сильное поле низкочастотной волны накачки значительно подавляет дисперсию связанных волн. Полная ширина спектра суммарной волны в нелинейном режиме равна ширине спектра входного сигнала, Дс^з я» Aco2, но при Z > I2 з профиль спектральной интенсивности приобретает полосатую структуру (рис. 3.26) из-за наложения на | S20 I2 синусоидальной модуляции, которая не является периодической по отклонению частоты Si. Она объясняется интерференцией быстрых и медленных компонент, имеющих различные ветви дисперсии <72 з =Slfucp ± D23Z (рис. 3.1).
§ 3.3. Метод параболического уравнения для парциальных амплитуд
Динамика изменения огибающих Aj в параметрическом преобразователе частоты с смодулированной накачкой описывается общим выражением (3.6). Изучение линейного режима, когда J0 « 1, не представляет труда. Значительно более сложная задача возникает при анализе нелинейных режимов. Функция Бесселя становится быстро осциллирующей, и для вычисления интеграла (3.6) надо применять метод стационарной фазы. Более наглядным подходом к получению приближенного описания поведе-
52 ния волновых пакетов является метод вторичного упрощения связанных укороченных уравнений (3.2).
Для обсуждаемого здесь случая смодулированной волны накачки систему (3.2) можно привести к одному уравнению, например, для амплитуды суммарной волны:
B2A3 Аг дгА з Bz 4 Bv2cp
где Vcp - (Vi + 172)/2 = t — zjucp — средняя характеристика. Амплитуда сигнала A2 описывается таким же уравнением. При групповом синхронизме («2 = Vcp = Vi = Vz) решение (3.18) содержит две моды, имеющие разные фазовые скорости,
A3 = ?i+)(vCp)eir°Z + B{i\vC5>)e~iT*\ (3.19)
где В з и B3 — парциальные амплитуды быстрых и медленных мод соответственно. Интерференция этих мод и приводит к пространственным биениям амплитуд связанных волн (3.4).
В диспергирующей среде амплитудные профили парциальных мод искажаются по мере их распространения, они становятся функциями координаты Z. Будем считать дисперсионные эффекты слабыми; тогда изменения парциальных амплитуд незначительны на нелинейной длине /нл (3.5). Это означает, что парциальные амплитуды являются медленно меняющимися по сравнению с экспоненциальными множителями. Если теперь подставить (3.19) в (3.18), то можно отбросить малую вторую производную по координате z, так как I HnBB3jBz < B3. В итоге мы приходим после вторичного укорачивания к двум параболическим уравнениям для парциальных амплитуд [5]:
ЪВ™ ЭЫ±}
-- = TiD23 --. (3.20)
dz. Эт?2р ¦
Напомним, что в случае параметрического усиления параболическое уравнение для парциальной амплитуды экспоненциально нарастающей моды (2.13) не содержит мнимой единицы перед коэффициентом диффузии. Уравнение (3.20) имеет точно такой же вид, как уравнение второго приближения теории дисперсии в линейной среде ( § 1.5) .
Используя известное решение уравнения (3.20) с учетом граничных условий (3.3), окончательно находим общее выражение для амплитуды сигнальной волны при нелинейном режиме преобразования частоты:
« -^cp)2 я
\ 4 Tiy2D23Z/ \ AD23Z 4
(3.21)
53 Последнюю формулу можно получить также непосредственно из общего решения (3.6), если функцию Бесселя представить в виде первого члена асимптотического ряда при больших значениях аргумента: Z0Cx) = (2/тгх)1/2 sinx.
Таким образом, метод вторичного упрощения привел к параболическим уравнениям для парциальных амплитуд, решение которых в виде (3.21) позволяет достаточно просто проанализировать нелинейно-дисперсионное расплывание и компрессию связанных волновых пакетов.
§ 3.4. Параметрическое расплывание связанных волновых пакетов
Проследим основные закономерности расплывания волновых пакетов W2 и CJ3 в поле низкочастотной волны накачки CJ1 на примере взаимодействия гауссовых импульсов
E2(t) = ?20 ехр (-?>!)• (3.22)
Подстановка (3.22) в (3.21) приводит к интегралам Френеля, которые легко вычисляются в бесконечных пределах. В результате получаем выражение для интенсивности суммарной волны
/з =(73/72)/20(1 + z2//l3)"1/2exp [-2 vlp It2(Z)] Sin2 Ф,
(3 23)
Ф = r0z + (l/2)arctg(z//23) + T72pz//23T2(z),
где длительность импульса увеличивается с пройденным расстоянием по закону
t(z) = т2( 1 +Z2Il223)1/2, Z23 = T2j4D23. (3.24)
Длина нелинейно-дисперсионного расплывания Z23 соответствует ранее введенной при спектральном анализе длине (3.17), обозначающей границу области проявления дисперсионных эффектов в сильном ноле волны накачки; при этом надо учесть соотношение Aco2T2 % 1.
По мере параметрического расплывания огибающая волнового пакета (3.23) не сохраняет гауссову форму. За длиной нелинейно-дисперсионного расплывания (z > I23) появляются биения интенсивности, причем число осцилляций в пределах длительности импульса т (z) увеличивается пропорционально расстоянию zjl23. Данный эффект связан с проявлением интерференции двух мод, имеющих разные ветви нелинейной дисперсии (3.10). Входной импульс (3.22) возбуждает на сигнальной и холостой частотах две волновые моды. Одна из них, состоящая из быстрых спектральных компонент, расплывается с отрицательным коэффициентом диффузии, а другая — с положительным. Длина расплывания для обеих мод одинакова, однако в процессе расплывания они приобретают фазовую модуляцию разного знака. В результате наложения полей двух мод и возникает интерференционная картина амплитудной модуляции гауссовых импульсов (3.23). Следует отметить, что волновой пакет на частоте CJ2 расплывается так же, как на частоте CJ3.
