Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
V Эи ) р
/М-V 9F /jn , (84)
\Эи /р Эи \Эи /р
При сделанном нами выборе координатной системы (см. п. 18) cosa = со$Р =
0, cosy = 1 и
/ = й, (851)
Го
где г (в первой формуле) обозначает расстояние переменной точки Р (!> V,
?) поверхности (S) от точки Р, a (во второй формуле) - расстояние точки р
от точки ро .
Строим опять цилиндр вращения радиуса R с осью, направленной по нормали и
к (S) в точкер0 (см. п. 19), и через doudsi обозначаем поверхностные
элементы площадки (о), вырезанной цилиндром, и оставшейся части (Si)
поверхности (5).
Можем писать
<а-
(86)
J =SP Л *i +/д4-</а. го Го
Обозначим интегралы правой части первого равенства соответственно через
/1 и /2, а интегралы второго - через К\ и К2. Рассмотрим разность
(87)
Выбрав точку Р достаточно близкой к точке р0, положим |z| = е. Так
*)См. также А. Ляпунова (A. Liapounoff), "Sur certaines questions qui se
rattachent au probleme dc Dirichlet" (Journal dcs Math?matiqucs, Paris,
1898).
251
как для всех точек части поверхности (5Д) r>R*),r0 >R,\r- г0|<б,то
/i I Mo*$i Mo S'
(88)
и
II II |г - г01 /1 1 1\ з
Ь-т Ь +~ +~ <77 е- <88>>
IГ /о. I гг0 \Го гг0 г2/ Л4
Следовательно,
I Л 1 \ I 3LS Л '
Из (87), (88) и (89) выводим неравенство
1Л -Kl\<Ho^i(R + 3L)€ = li1i^e, (89.)
Л Л
гдеЛ^ есть определенное число.
28. Обращаемся к разности
I2-K2=fni^-- -Jj) do-zf? da = H-Hl.
(892)
Вводя опять цилиндрические координаты р, со и f с началом в точке Ро и
заметив, что для всех точек площадки (о), на которую
распространяются интегралы последнего равенства, \r0 -г\<е,г0> р, г
>р, получаем
II 1 I 3
при помощи (88j) I- - -- 1<-- е. Следовательно, в силу (54),
Ir3 rg I rp3
rp
|Я|= - - - J do\<3bpoef^.
<?-i)
pdpdio
Так как, далее, на основании (54,) da = < 2pdpda), то
dpdai
\H\<6bpoef . (90)
Имеем г2 = р2 + (Г+")2 = р2 + ?2 + е2 + 2?е, где в силу (54) р2 + 2?е > >
Р2(1 - 2йе) > 0 при достаточно малом е (и р Ф 0). Поэтому
г2 >р2 +е2 + 2?е = (р2 +е2)(1 -X), где положено X = - 2fе/(р2 + е2 ).
Очевидно,
| Х| < 2be < 1. (90,)
*) Так как R < D/2 (см. п. 19), то для справедливости этого неравенства
достаточно положить е < R. (Прим. ред.).
**) Так как |f| < L. См. п. 22.
252
Так как 1/ \Л - X < 1/ VI - |Х|', а |Х| всегда можно сделать меньшим 1/2,
выбрав достаточно малым е*), то можем считать, что
1/г <>/2? Vp4 +е4', (903)
причем неравенство (90) приведется к такому:
_ 2* я dpdui _ я dp
\Н\<ЬДЬрое! f -7=="= 12VTniHoe / 7==^ =
о о Vp +е о Vp + е
= 12>/?^Рое [In (R +v^ + e3) - In ej. (91)
Каково бы ни было положительное число 0, всегда lim е0 [In (R +
/- ---" е_7°
+ VRJ + eJ) - In е] = 0. Поэтому, каково бы ни было число е (из
рассматриваемого интервала), всегда можем положить 12 yfl nbe^ [In(Л + +
y/R* + е*) - In е] < А, где А есть число, не зависящее от е. При этом
неравенство (91) примет вид
\Н\<Ар ое(r), (92)
где а = 1 - 0 > 0 есть произвольное число, лежащее между О и 1.
29. Напишем интеграл
Hi = г J (p/r3) do = - е f (p/r3) do**) в виде
" do р - р°
Нх = -ер° f -т - ef do, (93)
подразумеваем под р° значение плотности р в точке р0 ¦
Преобразуя первый интеграл к полярным координатам и принимая во внимание
равенство (51), получаем
do pdpdtj) pdpdtj) , d pdpdo)
f-J -J^ = S~r~+ Oa2 J ~~=-. (94)
г r cos д r r
Но, в силу (54),
rl=P2+ f2 <(1 + b2p2)p2 <hp2, (94.)
где под И можем подразумевать определенное положительное число, не
зависящее от р. Поэтому
, r% pdpdu , p3dpdu> ,
0i = ва2 f -----< 6ha2 f --т------------< вИа2 f dpdu> ?= 2тг9ha2R,
(95)
Г r
ибо в пределах интегрирования r> p.
*) Стоит положить е<1/(4Л).
**) Напоминаем, что z=-e.
253
1 1 3 (p2+e2-r2)
30. Так как - - - - ¦ = - тт.--; где величина w
г (р2+е2)3'2 2 wsn
заключена между г2 и р2 + е2, то принимая во внимание (903) и (54),
получаем
1 1 6^/Т\р2 + е2 - г21
< (р2 +e2)s/2 <
г3 (р2 +е2)3/2
6vT [Ь2р4 + 2еЬр2 ] С'р2 + С"е (p2+e2)s/2 ^ (р2 +е2)3
где С'и С" суть, очевидно, определенные положительные числа, одинаковые
для всех точек поверхности (5). Первый интеграл правой части равенства
(94) можем поэтому переписать в виде
р^рЛо " > pdpdut , r p3dpdo>
1 г3 ( * С) 1 (р2 +е2)3/2 ^ J(p2+e2)3/2 '
где *' = C'0',|0'i<l,*" = C"0", Щ<1.
Так как
Р3
1 = / 7~3 ¦ ЗЛЮ dpd°> < 2ЯЛ> (96)
(рЭ+е2)3'2
а
^ pdpdut 2п 2п
V+e2)*2 =Т " V^2 + е2 '
то, на основании (94) и (95), da
ef-^- = 2n + eQ, (97)
(1 t ^ \
g" - Причем, в силу (95) и (96),
Ю1<2я^/ю2Л+С'Л+С"+^ = (98)
где В есть определенное число при всяком определенным образом
выбранном/2.
Заметим также, что
\eQ\ < 2я (ha2Re + C'Re + C"e + 1) < B0, (98j)
где Bo - определенное число, не зависящее ни от выбора ей R (достаточно
малых, удовлетворяющих указанным выше условиям), ни от расположения точки
ро на поверхности (S).
31. До сих пор мы ограничивались одним предположением, что плотность м
есть ограниченная функция точек поверхности (S). Допустим теперь, что ц
остается непрерывной на этой поверхности.
254
В этом случае, при достаточно малом R, будем иметь ц - ц° I da
