Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
тому, как и в случае задачи Дирихле, легко устанавливается следующая
теорема.
Теорема V. Гармоническая функция Uвнутри данной замкнутой поверхности (5)
определяется условиями (43) и (44) вполне до некоторой добавочной
произвольной постояннбй.
Во втором случае (внешняя задача К. Неймана) требуется определить
гармоническую функцию U при помощи условий
ъис
AU = 0 вне поверхности (5), ------- =/ на поверхности (5). (45)
Ъп
В этом случае задача возможна, какова бы ни была заданная функция / точек
поверхности (.5), и формула Грина(37) приводит к следующей теореме.
Теорема VI. Может существовать одна и только одна гармоническая вне
данной замкнутой поверхности (5) {в области (D')) функция U,
удовлетворяющая условиям (45).
16. Заметим, что задачи Дирихле и К. Неймана представляют собой частные
случаи следующей, более общей задачи:
Найти такую гармоническую функцию внутри или вне данной замкнутой
поверхности (5), которая удовлетворяла бы соответственно условиям
(/,• =/ на одной части поверхности (5),
Э(// (46)
=/, на другой, оставшейся части (5),
Ъп
или
Uf-f на одной части (5),
bUe " (47)
=/, на другой ее части,
дп
где/и/i суть две заданные функции точек поверхности (5).
2 39
В этом случае при помощи формул преобразования Грина (31) и (37)
выводится такая теорема.
Теорема VII. Может существовать одна и только одна гармоническая внутри
или вне данной замкнутой поверхности (S) функция, удовлетворяющая
соответственно условиям (46) или (47).
Доказательства всех указанных теорем можно найти в любом трактате по
теории притяжения и в большинстве курсов механики и анализа *).
17. Предположим теперь, что притягивающие массы распределены сплошным
образом на некоторой поверхности (S) с плотностью ц, которая будет
некоторой функцией точек этой поверхности **). Потенциалом V этих масс на
какую-либо точку х, у, z пространства с массой, равной единице,
называется интеграл вида
V = f - ds, (48)
г
где ds есть элемент поверхности (S), на которую распространяется
интегрирование.
Слагающими по осям координат силы, с которой материальная поверхность (S)
притягивает точку х, у, z будут частные производные первого порядка от V
по координатам х, у, z.
Функция V отх, у, z остается, как известно, непрерывной во всем
пространстве, так что Vi = Ve - V на поверхности (S). В бесконечно
удаленных точках V обращается в нуль со своими частными производными по
тому же закону, что и функция U (потенциал объемных масс; неравенства (2)
и
(2i)). Частные производные от Vнепрерывны внутри и вне поверхности (5)
***) и удовлетворяют уравнению Лапласа
Д V = 0 внутри и вне поверхности (5), т.е. потенциал поверхностных масс
представляет гармоническую функцию координат как внутри, так и вне
поверхности (S).
Частные производные от V по координатам и нормальная производная этой
функции испытывают разрыв при переходе точки через поверхность (5) и,
вообще говоря, могут не иметь определенного смысла для точек этой
поверхности, если не подчинить ее некоторым ограничениям.
До сих пор мы подчиняли поверхность (S) одному условию, что она
(а) имеет определенную касательную плоскость в каждой ее точке.
Мы введем теперь еще следующие дополнительные условия:
*) См., например,
Lejcunc Dirichlet. Vorlesungen liber die im umgekehrten Verhaltnissdes
Quadrats der Entfernung wirkenden К raft e. - Leipzig, 1876.
C. N e u m a n n. Untersuchungen liber das Potential. - Leipzig, 1877.
H. P o i n с a r e. Theoric du Potentiel Newtonien. - Paris, 1899.
P. D u h e m. Lecons sur 1' Electricite et le Magnetisme. - Paris, 1891,
т.1.
P. A p p e 11. Traitede Mecanique rationelle. - Paris, 1922, т.111.
С. J о rd a n. - Coursd' Analyse. - Paris, 1913, t.11.
E. P i с a r d. Traite d' Analyse. - Paris, 1901, т. 1.
А. К о r n. Abhandlungcn zur Potcntialtheoric. - Berlin, 1901.
**) Функция д всегда предполагается интегрируемой. (Прим. ред.)
***) Мы всегда будем рассматривать лишь замкнутые поверхности и для
сокращения слово ''замкнутый" будем опускать.
240
(b) Пусть Ро и р - две какие-либо точки поверхности (5), б есть угол
между внешними нормалями к (S) в этих точках, г0 - расстояние между ними.
Для любых двух точек р0 и р поверхности (S) имеет место неравенство вида
д <аг0, (49)
где а есть положительное число, не зависящее от положения точек р0 и рна
поверхности (5).
(c) Около каждой точки р0 поверхности (S) можно описать сферу достаточно
малого, но определенного радиуса D (одинакового для всех точек
поверхности), такую, что любая прямая, параллельная нормали пк (S) в
точке ро, пересечет часть поверхности (5), заключающуюся внутри сферы,
только в одной точке*).
Поверхности, удовлетворяющие этим общим условиям, мы будем называть
поверхностями Ляпунова.
18. Предположим точку р настолько близкой к р0, что
ar0 < 1,
и угол б достаточно малым.
Имеем, в силу условия (Ь),
cos д> \ - -#2>1- - а2Го 2 2
и
-< ---------------i*-^- .
откуда на основании (50) выводим 1 /cos д < 1 +a2rl
