Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стеклов В.А. -> "Основные задачи математической физики" -> 94

Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.

Стеклов В.А. Основные задачи математической физики — М.: Наука, 1983. — 1983 c.
Скачать (прямая ссылка): osnovniezadachimatematfiziki1983.pdf
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 159 >> Следующая

- неравенство, которое можно заменить равенством вида 1 /cos д = 1 +ва2г1
, О<0<1.
Примем за плоскость % т?плоскость, касательную к (S) в точке р0, и опишем
около Ро сферу радиуса R < D, которая вырежет на поверхности (5) площадку
(о), все точки которой будут лежать внутри сферы; начало координат
поместим в точке р0. Координата f всех точек площадки (о) будет, в силу
условий (а ) - (с), непрерывной и однозначной функцией переменных ?иг),
имеющей непрерывные производные первого порядка во всех точках
рассматриваемой площадки.
Как известно,
-L_ .J"(")%(?)'.
cos д v \Э$/ [дт]/
(50)
(50,)
(51,)
*) Далее удобно считать, что Д < 1/а. (Прим. реЦ,)
241
Отсюда при помощи (511) выводим
(52)
Введем вместо прямоугольных полярные координаты, полагая % = р cos ш,
г)=р sinш. Имеем
ЭГ эг ЭГ .
- COSOJ + - sin ш,
Ър dlj Этг
откуда на основании известной леммы Коши
Ър
где в f есть величина, численно меньшая единицы (| в' | < 1). Отсюда,
интегрируя по р от 0 до какого-либо р и заметив, что f = 0 при р = 0,
получаем
где Ь есть положительное число.
19. Составим выражение нормальной производной от потенциала V,
определяемого равенством (48) для точек поверхности (S) *) .
*) Имеется ввиду (см. также п. 7) следующее.
Возьмем произвольную точку ра е S и обозначим через п и внешнюю нормаль к
поверхности S в этой точке. В любой точке Р? S функция V имеет
производную по направлению л и эта производная выражается формулой
/ Э V \ и cos <j/
С другой стороны, неравенство (52) при условии (50) дает
(52.)
Следовательно, для всех точек площадки (о) ar0 < 1) | Н <Р\/^ Так как
< а г 0у/Т, т.е. (ибо
Ър
г1 =vV + К
(53)
то
г0 <2р
(53')
и, следовательно,
эг
Ър
\<p2aVT,
(53,)
или
- =в'р2ау/Т,
| И < р2 а \/Т= Ър2,
(54)
Обозначая через ф угол,' составляемый направлением рРо> идущим от
переменной точки р к точке р0 с внешней нормалью п к поверхности (S) в
точке ро, получим при принятых нами обозначениях (для точки р0):
Ъ V р cos ф
-=-/-!--------- ds.
Ъп Го
Построим теперь цилиндр вращения радиуса R< D, ось которого направлена по
нормали п к поверхности (S) в точке р0, и обозначим через (о) площадку,
вырезанную этим цилиндром, а остальную часть поверхности (S) обозначим
через (S ) *).
Подразумевая затем под da поверхностный элемент площадки (о), под ds -
такой же элемент части (S'), можем писать
Ъ V р cos ф , р cos ф
- = - Г -г-- ds - f - --------- da.
Ъп Го Го
Так какс<иф = (z - f)/г0 = - f/r0, ибо в нашем случае2=0 **),то
р cos ф pi
-/ -5 do = f- da.
П r%
Вводя опять полярные координаты ришс началом в точке р0 и с осью f,
направленной по нормали п к поверхности (S) в точке р0 ,заметив, что da =
= pdpdw /cos 0, и приняв в расчет (S3), можем писать Р Г pipdpdu)
;Т =;cosd(p2+r2)3/2 •
Неравенства (50) и (50t) показывают, что
cos d > 1 / 2; (54,)
Окончание сноски
где г - расстояние от точки Р до переменной точки р е S, а ф - угол между
векторами
рР и п. Под значением нормальной производной потенциала V в точке р0 е S
понимается значение в точке р0 интеграла, стоящего в правой части
последней формулы; далее доказывается, что этот интеграл сходится (для
любой р0 G5), если плотность дограничена.
В настоящее время для обсуждаемого' понятия используется термин "прямое
значение нормальной производной потенциала простого слоя на поверхности
5"; см., например, учебник B.C. Владимирова ''Уравнения математической
физики" (М., Наука, 1981, стр. 407). (Прим. ред.)
*) Здесь н всюду далее в подобных построениях рассматривается пересечение
цилиндра достаточно малого радиуса Я с шаром радиуса D (из условия (с)
п.17). Удобно считать, что Я < ?>/2. Тогда площадка (о) однозначно
проектируется на плоскость, касательную к поверхности (5) в точке р0. При
этом из установленных в п.18 свойств поверхности (5) вытекает (напомним,
что D < 1/е), что проекция площадки (с) на касательную плоскость является
кругом радиуса Я и (о) описывается уравнением ? = ? ((,4), ?' + п2 < R2,
где функция f удовлетворяет неравенствам п.18, в частности неравенству
(54). (Прим. ред.)
**) Начало координат находится в точке р0.
243
при этом будет иметь силу и неравенство (54). При помощи этих неравенств
из предыдущего равенства выводим
Д f I
/ - da < 2 До Ь / dpdoj = 8 irp0bR, (55)
Г O I
где до есть высшая граница функции д на поверхности (5). Тогда
д cos у lim / --- da = 0.
R - 0 r\
Отсюда следует, что нормальная производная от потенциала V сохраняет
определенные значения во всех точках любой поверхности Ляпунова при одном
условии, что плотность д притягивающих масс есть ограниченная функция
точек этой поверхности.
. 20. Выведем теперь одно неравенство А. М. Ляпунова *), необходимое для
дальнейшего, которое покажет в то же время, что нормальная производная
ЭК д cos ф
- = -/---------- ds (56)
Ъп г
есть непрерывная функция координат точек поверхности (5) при сделанном
предположении относительно плотности р.
Возьмем на площадке (о) другую точку р, и обозначим через 5 расстояние
Предыдущая << 1 .. 88 89 90 91 92 93 < 94 > 95 96 97 98 99 100 .. 159 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed