Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
dr
/ - <4л/. г
(28)
Следовательно,
ъи
|2Г| = -- < 4 я д0 /• Ъх
(29)
234
если мы будем приближаться к точкам этой поверхности как с внутренней,
так и с внешней стороны, что предельные значения U на поверхности (5) не
зависят от пути, по которому мы подходим к точкам (5), и что U стремится
равномерно к своим пределам для всех точек поверхности (5). Мы
предположим также, что функция U принимает определенные значения во всех
точках (5), когда мы в выражение функции U подставим непосредственно
вместо х, у, z координаты любой точки поверхности (5).
Предел, к которому стремится U, когда мы будем подходить к какой-либо
точке (S) с внутренней стороны, мы обозначим через ?/,•; предел, к
которому стремится U, когда мы будем приближаться к точкам (5) с ее
внешней стороны, обозначим через Ue. Значения функции U на самой
поверхности (при непосредственной подстановке _в выражение U координат
точек поверхности (5)) будем обозначать через U, или просто через U (без
черты наверху), когда отсутствие черты сверху U не может вызвать по ходу
дела никаких недоразумений.
7. Мы будем предполагать в дальнейшем, что поверхность (5) имеет
определенную касательную плоскость в каждой точке, и обозначать через л
направление внешней нормали к (5), т.е. то направление нормали, которое
идет от точки поверхности (5) в область (D'), внешнюю относительно (5).
Прямо противоположное направление нормали будем называть внутренней
нормалью. Обозначим через а, /3, и у углы, составляемые направлением л
(внешней нормалью) с осями координат.
Возьмем какую-либо точку М' внутри (5), лежащую на нормали к (5) в точке
М(х, у, z), достаточно близкую к этой последней точке, и составим
выражение
ъи ъи ъи
cosa + -cos/3 + cos7, (30)
Ъх Ъу Ъг
где частные производные от Uсуть функции координат точкиМ'. Предположим,
что М', двигаясь по нормали, приближается к М. Предел, к которому
стремится при этом выражение (30), мы будем обозначать, если тако-dt//
вой существует, через и будем называть внутренней нормальной про-
Эл
изводной от U в точке х, у, z поверхности (S).
Если предположим, что точка М' лежит на нормали к (5) с ее внешней
стороны и, двигаясь по этой нормали, стремится к точке М, то предел, к
которому будет стремиться выражение (30), если таковой существует, будем
ъие
обозначать через и называть внешней нормальной производной otUb
Ъп
точке х, у, z поверхности (5).
Значение выражения (30), которое оно получит, если в него непосредственно
подставить координаты х, у, z точки М поверхности (5), мы будем
ъи
обозначать просто через - и называть значением нормальной производной Ъп
от U на поверхности (5) *).
*) Разумеется, если при этом выражение (30) имеет определенный смысл.
235
8. Возьмем две функции U и К, из которых каждая имеет нормальные
производные на поверхности (5) (внутреннюю и внешнюю) и, кроме того,
определенные вторые частные производные как внутри, так и вне поверхности
(S) (во всех точках областей (D) и (D'), исключая точки самой поверхности
(5)). Имеет место слудующая формула преобразования одного объемного
интеграла в два других: один объемный же, а другой по-верхостный:
(ъи эк ъи эк ъи ЭК\ ЭК,
f\T Т +Т Т +Т ~)dT=-IUAVdT4Ui-^dSi (31)
\ Ъх Ъх Ъу Ъу Ъг Ъг / Эи
где по-прежнему dr означает элемент объема (D), a ds - элемент
поверхности (5), на которую распространяется последний интеграл правой
части этого равенства. Так как левая часть равенства (31) симметрична
относительно функций U и К, то можем также писать
I ъи эк ъи ЪУ ъи ЭК\ ъи,-
/----------+----------+---------\dT = -fVAUdT + fVi-- ds.
(32)
\ Ъх Ъх Ъу Ъу Ъг Ъг) Ъп
Из равенств (31) и (32) вытекает следующая формула Грина:
/ эк, ъиЛ
f(UAV-VAU)dT = f\Ui ----------- У, -' ds. (33)
\ Эи Ъп }
9. Предположим, в частности, что функции U и К удовлетворяют уравнениям
Лапласа
AU = О, ДК=0 внутри (D). При этом равенство (33) приводится к виду
/ эк,- ъиЛ
V э7 " ' аГ )*"° <34>
Положив здесь К= 1, получим
ъиi
S - ds=0 (35)
Ъп
-равенство, имеющее место для любой функции U, удовлетворяющей уравнению
Лапласа внутри области (D).
Из равенства (34) выводится также следующая важная формула Грина,
справедливая для всех точек области (D):
1 cos i/j 1 bUt 1
- I U, -ds + - f -47Г Г 47Г Эи r
U-~ S Ut ~~2~ds+- j - - ds, (36)
где г есть расстояние точки х,у,г , к которой относится значение U, от
переменной точки ?, 77, f поверхности (5), aiр есть угол, составляемый
направлением, идущим от точки М (эс, у, г) к точке ?, 77, (, с
направлением нормали и к (.S) в этой последней точке. Интегрирование в
интегралах правой части этого равенства совершается по переменным ?, 77,
f и распространяется на всю поверхность (5).
236
10. Допустим теперь, что функции t/и У, подчиненные условиям п. 8 в
области (?)') (вне поверхности (S)), обращаются в нуль для бесконечно
удаленных точек и удовлетворяют условиям (2) и (2!). Если обозначим через
d т ' элемент объема области (D'), то будем иметь
