Основные задачи математической физики - Стеклов В.А.
Скачать (прямая ссылка):
/ ъи ъу ъи ъу ъи ЪУ \ ,
/( - - + - - + - - \dT =
\ Ъх Ъх Ъу Ъу Ъг Ъг /
= - / и A VdT' -fUe -е А = -JVAUdr' ~/Уе -е ds, (37)
Ъп Ъп
где объемные интегралы распространяются на все точки пространства,
внешнего относительно поверхности (S) (на всю область (?>')), а
поверхностные - на всю поверхность (S).
Из этого равенства вытекает следующая важная формула Грина, имеющая место
для всякой функции U, удовлетворяющей уравнению Лапласа Д t/ = 0 в
области (D'):
1 cos у 1 Ъ11е 1
и=~- JUe -f ds-- f ---ds, (38)
4 я г 4 тг Ъп г
аналогичная формуле (36).
Всякую функцию U, подчиненную условиям п.п. 6 и 8 и удовлетворяющую
уравнению Лапласа внутри области (D), будем называть гармонической
функцией в области (.D) (внутри поверхности (5)). Всякую функцию U,
подчиненную условиям пп. 6 и 8 вне поверхности (5), неравенствам (2) и
(2i) и удовлетворяющую уравнению Лапласа во всех точках области (D ),
будем называть гармонической функцией в области (?>') ( вне поверхности
(5))*).
11. Предположим, что поверхность (S) есть сфера радиуса R, и применим
формулу Грина (36) к точке, лежащей в центре этой сферы. Получим
и~ Г~Т7 Su<ds- (39>
4 nR 2
Из этого равенства выводится следующая теорема:
Теорема I. Отличная от постоянной гармоническая функция в какой-либо
области (?>), ограниченной замкнутой поверхностью (S), не может иметь ни
максимума, ни минимума внутри (S).
Иначе говоря, наибольшие и наименьшие значения всякой гармонической в
какой бы то ни было области (D) функции Uнеобходимо лежат на поверхности
(S), ограничивающей эту область.
12. Формулы Грина приводят еще к следующим важным теоремам.
Теорема II. Может существовать одна и только одна функция U,
гармоническая внутри данной области (D), ограниченной замкнутой
поверхностью (S), и принимающая на самой поверхности наперед заданные
значения, т.е.
*) Неравенства (2) и (2,) следуют из стремления решения U (х, у, z)
уравнения Лапласа к нулю при (х, v, z) -*¦ ¦". {Прим. ред.)
237
удовлетворяющая условиям AU = 0 внутри (S),
Uj =/ на поверхности (S),
(40)
где/есть заданная функция координат точек поверхности (5); эту функцию /в
дальнейшем будем предполагать непрерывной.
Теорема III. Может существовать одна и только одна функция U,
гармоническая вне поверхности (5) (в области (D1)) и принимающая наперед
заданные значения на этой поверхности, т.е. удовлетворяющая условиям
AU = 0 вне (S),
Ue=f на поверхности (S). (40
Эти теоремы можно рассматривать также как прямые следствия теоремы I.
Определение гармонической функции U, подчиненной условиям (40) при данной
поверхности (S), составляет внутреннюю задачу Дирихле; определение
гармонической функции U, подчиненной условиям (41) для данной поверхности
(5) составляет внешнюю задачу Дирихле.
13. При помощи формулы (36) получается простое решение внутренней задачи
Дирихле в случае, когда поверхность (5) есть сфера данного радиуса R,
указанное впервые Шварцем.
Если обозначим через / расстояние точки х, у,г, лежащей где-либо внутри
сферы, от ее центра, то функция U, удовлетворяющая условиям
AU = 0 внутри сферы,
Uj = / на поверхности сферы,
где/есть заданная функция координат точек поверхности сферы, представится
в виде
I Л2-/2
U (х,у, z) = // - ds. (42)
4 vR гл
Здесь ds есть элемент поверхности сферы г2 = (x - 5)2 +{у - т?)2 + (z -
f)2, /2 = х2 + у2 + z2 и интегрирование по переменным ?, т?, f
распространяется на всю поверхность сферы.
14. Наконец, при помощи формулы Шварца (42) и теоремы I без труда
доказывается следующая теорема, впервые указанная итальянским геометром
Вито Вольтерра.
Теорема IV. Обозначим через Uи U2, U3".. , Uk,.. бесконечный ряд функций,
гармонических внутри данной поверхности (S). Пусть l/ц, 1/ц, Uц, ...,
Ukj,. ..суть предельные значения, которые принимают функции Uk (к = I, 2,
3,...) на поверхности (S).
оо оо
Если ряд 2 Ukiсходится равномерно, то ряд 2 Uk также схо-
k =1 *=|
дится равномерно во всех точках внутри поверхности (5) (в области (?))) и
представляет собой гармоническую функцию.
15. Другой основной задачей математической физики является, как уже
упоминалось, задача К. Неймана (или основная задача гидродинамики), 238
которая, так же как и задача Дирихле, распадается на две: на задачи
внутреннюю и внешнюю.
В первом случае требуется определить гармоническую функцию внутри данной
замкнутой поверхности (5) при условии, что внутренняя нормальная
производная искомой функции принимает наперед заданные значения на самой
поверхности, т.е. требуется найти функцию координат, удовлетворяющую
условиям
Д(/ = 0 внутри (5),
3t/f , (43)
- = / на поверхности (5), дн
где/по-прежнему есть заданная непрерывная функция координат точек
поверхности (5).
Равенство (35) сейчас же приводит к заключению, что эта задача может
иметь решение только в том случае, когда функция /подчинена условию
ffds = 0. (44)
Если зто условие соблюдено, то возможно существование функции U,
удовлетворяющей уравнениям (43). При помощи формулы Грина (31), подобно
