Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
выглядеть практически так же, как для бозе-полей.
Начнем со случая ферми-системы с одной степенью свободы. Пространство
состояний для такой системы двумерно. В нем действуют два оператора а*,
а, сопряженные друг другу и удовлетворяющие перестановочным соотношениям
Эти операторы можно представить матрицами 2X2
Формализм континуального интегрирования основан на другом представлении
операторов а*, а, являющемся своеобразным аналогом голоморфного
представления. Рассмотрим две антикоммутирующие переменные а*, а:
а*а + аа* = 1, (я*)2 = 0; а2 - 0. (4.1)
а =
(4.2)
а*а + аа*=0; (а*)2 = 0; а2 = 0. (4.3)
§ 4. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ 67
Такие переменные называются образующими алгебры Грассмана. Общий элемент
этой алгебры (функция от образующих) дается формулой
/ (<7*> а) - /оо + /oi<2 + fvfl* + fuaa*, (4.4)
где /оо, /01, fю, /11 - комплексные числа. Голоморфными функциями назовем
функции, зависящие только от а*:
/(а*) = /о + /ю*. (4.5)
Множество таких функций образует двумерное пространство и мы используем
их для представления векторов состояний нашей системы.
Операторы а* и а возьмем в виде
а'/ (а*) = a*f (а*); а/ (а*) = / (а*), (4.6)
где дифференцирование естественно определяется формулой
¦^(/o + /ifl*) = /i. (4.7)
Нетрудно убедиться в том, что коммутационные соотношения (4.1)
действительно выполняются. Наша следующая задача - ввести скалярное
произведение в пространстве голоморфных функций, такое, чтобы операторы
а* и а были сопряжены друг другу. Мы сделаем это посредством удобного
определения интеграла от функций вида (4.4) по da*da. Будем считать, что
da* и da анти-коммутируют между собой так же, как с а и а*, и определим
однократные интегралы
^a*da*- 1; ^ada-- 1; ^da* = 0; ^c?a = 0. (4.8)
Заметим, что наглядный смысл последних двух формул
состоит в том, что интеграл от полной производной равен нулю. Приведенных
правил достаточно для определения интеграла от любой функции, если еще
условиться понимать кратный интеграл как повторный. Тогда
^ / (a*, a) da* da = /п.
(4.9)
58
ГЛ. И, КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Искомое скалярное произведение дается формулой
(fu /2) = 5 (/. (а*)У h (а*) da* da; (4.10) здесь понимается, что
(f(aT = /o + f;". (4.11)
Проверим, что это скалярное произведение положительно определено. Для
этого покажем, что одночлены
Фо=1; Ф1 = а* (4.12)
ортонормированы. Имеем
(Фо, Фо) = ^ е~а*а da* da = ^ (1 - а*а) da* da= 1; (4.13)
(Фо, Ф1) - ^ и*е~а*а da* da = 0; (4.14)
(Фь Ф0 = ^ аа*е~а*а da* da= 1. (4.15)
Сопряженность операторов а*, а следует из того, что в базисе ф0, Ф1 они
задаются матрицами (4.2). Действительно,
а*фо = Фь а*ф! = 0; афо = 0; аф! = ф0.
Применим сформулированные правила интегрирования для вычисления интеграла
от экспоненты, показатель которой является неоднородной квадратичной
формой
^ ехр {а*Аа + a*b + b*a} da* da, (4.17)
где b и Ь* антикоммутируют между собой и с а*, а.
Как следует из формулы (4.9), мы можем сделать в интеграле (4.17) сдвиг
переменных интегрирования
а*->а* - A~lb*; а-* а - А~1Ь, (4.18)
так как коэффициент при аа* в подынтегральной функции не меняется при
таком сдвиге. После этого сдвига интеграл (4.17) приобретает вид
ехр {- Ь*А_1б} ^ ехр {а*Аа} da* da -
= - Лехр{- b*A~lb}. (4.19)
S 4, КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПО ФЕРМИ-ПОЛЯМ
59
Обратим внимание, что формула (4.19) выглядит точно так же, как в случае
интегрирования по коммутирующим переменным, за исключением того, что
множитель А стоит в числителе, а не в знаменателе, как это было бы в
случае коммутирующих переменных.
Приступим к описанию способов задания операторов в рассматриваемом
представлении. Общего вида оператор А можно задать в виде
А = Коо ~Ь Кюа* ~Ь Ко\й -)- Кцй*а. (4.20)
Мы можем сопоставить ему две функции на алгебре Грассмана: нормальный
символ
К (а*, о) - Коо ~Ь Kloa* + KoiCL + К\\й*а, (4.21)
и ядро
А (а , a) - Aqo -|- A\qCL Ч- Ао\й -(- ЛцЯ*п, (4.22)
где Апт, п, т = 0,1 - матричные элементы оператора Л в базисе фо> фб
Апт = ША\Ът). (4.23)
Ясно, что
(.Af) (а*) = J Л (а*, а) / (а*) da* da- (4.24) (Л]Л2) (а*, а) = ^ Л] (а*,
а) Л2 (а*, а) е~а*а da* da. (4.25)
Чтобы записать эти формулы, нам пришлось ввести новые антикоммутирующие
переменные а*, а. По определению, а*, а. антикоммутируют с а*, а.
Нормальный символ К {а*, а) и ядро А (а*, а) данного оператора Л связаны
между собой формулой
Л (а*, а) = еа*аК (а*, а). (4.26)
Для доказательства этого утверждения достаточно сравнить коэффициенты К
пт И А. пт в формулах (4.21) и
(4.22), и убедиться, что
^00= Л00; Д01 = Ат; Кт = Л10; Кц = Ац - Лоо- (4.27)
Все приведенные формулы без труда обобщаются на случай п степеней
свободы. Для этого следует использовать 2п антикоммутирующих переменных
ар a*v...,a*n. (4.28)
60
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Пространство векторов состояния составлено аналитическими функциями /(а*)
и имеет размерность 2п. Операторы a*, ai, i = I, ..., п действуют по
правилу
аг/(а*) = (^) f(aj, a*J (а*) = a*f (а*), (4.29)
