Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
канонических преобразований классической механики. Разреше-
§ 1. континуальный интеграл
33
ние кажущегося парадокса состоит в том, что мы фактически не дали
определения континуального интеграла во внутренних терминах, без ссылок
на предельный переход. Чтобы вложить реальный смысл в континуальный
интеграл, нужно задать конкретный способ его вычисления, что по сути дела
эквивалентно выбору упорядочения. В теории поля один из таких способов
(на сегодня единственный) дает теория возмущений. Строгое опре-. деление
континуального интеграла в этом случае будет дано в дальнейшем. Пока же
будем работать с континуальным интегралом, обращаясь с ним как с
конечномерным. Мы надеемся, что формальные манипуляции с континуальным
интегралом, которыми мы будем заниматься ниже, выработают у читателя
достаточно ясное интуитивное представление об этом объекте.
Сам Фейнман использовал несколько иную форму континуального интеграла, а
именно интеграл по траекториям в пространстве координат. Фейнмановская
формула естественно возникает, если гамильтониан квадратичен по
импульсам:
к==Ш+°М' (1Л7>
Действительно, в этом случае интегрирование по переменным р можно
провести в явном виде. В интеграле
S ехр | i ( (pq-^-v (qj) dt J Ц ^ (1.18)
нужно сделать сдвиг:
p(t)->p (t) + mq. (1.19)
После этого интегрирование по р и q разделяется и мы получаем ответ
Сq", t"\q', t')=-h-\ ехр <1 i \ Г-^- - v(q))d(\ II dq, (1.20)
> о=4г ^ ехр |1 jj (У- -v (?))di J Пdq'
^ expj -/^ ^ d/j IJ-g-. (1.21)
где
t"
34
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Нормирующий множитель N, очевидно, не зависит от q' и q", и является
функцией времени t" - t'. Обычно этот множитель включают в определение
меры. Из приведенного вывода ясно, что вторая форма континуального
интеграла является менее общей. Она справедлива лишь для гамильтонианов,
квадратичных по импульсам. Тем не менее для большинства физически
интересных задач гамильтониан обладает этим свойством и поэтому для них
обе формы эквивалентны.
Случай системы со многими степенями свободы можно рассмотреть аналогично.
Используя векторные обозначения
мы можем и для этого случая сохранить формулы (1.16),
С точки зрения гамильтоновой динамики квантовая теория поля является
системой с бесконечным числом степеней свободы. Например, в случае
скалярного нейтрального поля, описываемого лагранжианом
точками фазового пространства являются пары функций ф(х), л(дс),
образующие бесконечный набор канонических переменных. Аргумент х играет
роль номера этих переменных. Скобки Пуассона задаются соотношениями
Существует много представлений для операторов ф(х) и п(*), отвечающих ф
(де) и я(дс) после квантования. Одно из них, координатное, является
диагональным для ф(х); векторы состояния являются функционалами Ф(ф(*))
ОТ ф(х) и
Ф (*) ф (ф) = Ф (*) ф (ф); Л (х) Ф (ф) = у 6ф6(л:)-Ф(ф)- (1.25)
(1.20).
& = у <5цф<5цФ - Ф2 - V (ф), (1.23)
{ф (*), Ф (У)} = 0; {л (дс), я (у)} = 0; {ф (х), я (у)} = б(r) (X - у).
(1.24)
§ 1. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
35
Чаще используют представления в пространстве Фока, о которых мы упомянем
ниже. Гамильтониан имеет вид
Я (я, ф) =
= ^ _|_ j. gkф {х) дкЦ) (*) J1L- ф2 (д,.) _|_ у ((p)J dsx_ (J .26)
Нетрудно убедиться, что гамильтоновы уравнения движения
d , , б Н , ,
-Ж*М = -Щх)=Л(х);
d б Н (L27>
W п W = ~ ад = Лф " г (ф) " т2ф
действительно совпадают с обычным уравнением для скалярного поля
? Ф + т2ф = - Г'(ф). (1-28)
Полученные выше формулы, выражающие оператор эволюции в виде
континуального интеграла, непосредственно переносятся и на этот случай. -
В координатном представлении имеем:
(ф" (ж), t" | ф' (ж), t') = <ф" (ж) | ехр {- гЯ (/" - t')} | ф' (л:)) =
t
t) а#ф (х, t) - Я - j (<3/гф (х, t)f -
_ v (ф {Xt 0)] d3x dt} д dMx, t)^p(x, t)
= ^ ехр | г ^ [^я (ж,
- У (ф (ж, /))j с?3ж dt j Д
X, t
= ^ ехр | / ^ i? (ф) d4xj Д (ж) (1.29)
t' <хо < t"\ ф (ж, t") = ф" (ж); ф (ж, (') = ф' (ж).
Во второй формуле мы использовали релятивистские обозначения x = (x,t).
Единственное, что в ней не ло-ренцинвариантно, это ограничение интеграла
по времени интервалом Г ^ ж0 ^ Г'. Впоследствии нас будет интересовать
оператор эволюции для бесконечного проме-
36
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
жутка времени, поскольку именно он нужен для построения матрицы
рассеяния, которая определяется формулой
5= lim , (1.30)
t"->oo
t' - 00
где Я0 - оператор энергии свободного движения, получающийся из Я, если
опустить член взаимодействия У(Ф).
Для вычисления этого предела использованное ранее представление неудобно,
так как выражение для оператора exp {-iH0t} в этом представлении
достаточно громоздко. Более удобным является так называемое голоморфное
представление, в котором диагональны операторы рождения. Обсуждению этого
представления посвящается следующий параграф.
§ 2. Континуальный интеграл в голоморфном представлении
Начнем опять со случая одной степени свободы. Рассмотрим в качестве
примера гармонический осциллятор с функцией Гамильтона
