Введение в квантовую теорию калибровочных полей - Славнов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
h{p, q) = -Y + ^j~- (2.1)
Введем комплексные координаты
а*= vt а = vfc"+ ip)] (2,2)
функция Гамильтона в этих координатах имеет вид h = со а*а.
В квантовой механике им соответствуют сопряженные друг другу операторы,
удовлетворяющие переста-
новочным соотношениям
[а, а*] = 1. (2.3)
Эти перестановочные соотношения имеют представление в пространстве
аналитических функций f(a*) со скалярным произведением
(fi, h) = J (/. (а*)ГМа>-"*^. (2.4)
§ 2. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
37
Операторы а*, а действуют следующим образом:
а*/(0 = а7(Ю; а/(а*) = ^г/(а'). (2.5)
Здесь использовано соотношение
da* da dp dq 2я1 = 2rt ' (2'6)
Введенное скалярное произведение положительно определено.
Действительно, произвольная аналитическая
функция f(a*) является линейной комбинацией одночленов
*""0 = -^. (2.7)
д/л!
Простое вычисление показывает, что эти одночлены ор-тонормированы:
оо 2л
= . 1 - [ prfpl Щп+теЯ(п-т)е-? _ Г °> ПфШ,
Vmini п J J ( 1, п = т,
(2.8)
откуда следует положительная определенность скалярного произведения.
Ясно также, что операторы а*, а сопряжены друг другу. Действительно,
пользуясь тем, что
= <2-9>
имеем, интегрируя по частям,
(fi, аЪ) = J (f 1 И)* а* /2 (а*) =
= S f 1 (а*})* ^ ^ е"в*" = М' h) ¦ (2- Ю)
38
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Можно ввести два способа описания произвольных операторов в этом
представлении. Во-первых, произвольный оператор А можно представить в
виде интегрального оператора с ядром А (а*, а):
(Af) (а*) = J A (a*, a) f (<**) . (2.11)
Ядро А (а*, а) выражается через матричные элементы оператора А в базисе -
фесли
Апт = (Фп IА I фт), (2.12)
то
А {а\ а) = ? Апт -L-L . (2-13)
п, т у
Эта формула определяет А{а*,а) как аналитическую функцию двух комплексных
переменных а*, а, которые не обязательно сопряжены друг другу.
Произведению операторов А\, А2 соответствует свертка ядер
(.А1А2)(а\ а) = J Л, (а*, а)А2(а\ а)е~(2.14)
Второе представление для операторов - это просто задание оператора в виде
нормально упорядоченного полинома по операторам а*, а. Под нормальным
произведением мы понимаем произведение, в котором все операторы а* стоят
слева от операторов а. Посмотрим, как выглядит ядро оператора А,
заданного в виде суммы по нормальным произведениям:
А= ? Кпт ("У ат• (2.15)
п, т
Сопоставим такому оператору функцию
К(а\ a)=Z Кпт(а*)пат, (2.16)
п, т
которую будем называть нормальным символом оператора А. Тогда ядро А (а*,
а) оператора А связано с
К (а*, а) формулой
А {а*, а) - еа*аК (а*, а). (2.17)
§ 2. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
39
Для проверки рассмотрим в качестве оператора А одночлен
A = (afa', (2.18)
так что
К (а*, а) = (а*)ка1 (2.19)
и
Апт = ('Фге 1 А | фт) =
1 Г (( d \k " \* // d \l \ da* da
= V^r КЫ (flT) (Ы ^)m)e-a a^r =
= *Jn(n - 1)...(" - k + 1) -\/m(m - 1)... (m - I + 1) X
X8(">4)0(ffl>l)UB.,, (2.20)
где
( 0, если n < k,
Q(n>kOH / '
1.1, если ti^k.
Построим теперь A(a*, а) по формуле (2.13). Имеем л i * \ V а (а*)П аШ t
*\k l V (a*)n an
А(а,а)=? ^" =(") "2,-^- =
n, m
= (a*)h a1 exp {a a}. (2.21)
Формула (2.17) проверена. Формулы (2.17), (2.14) позволяют просто
построить оператор эволюции в виде континуального интеграла по функциям
a*(t), a(t). Соответствующий вывод фактически повторяет рассуждения из §
1.
Пусть гамильтониан задан в виде
Н = h (а*, а), (2.22)
где подразумевается нормальное упорядочение. Тогда ядро U (a*, a, At)
оператора эволюции
U (At) = ехр {- iff At} (2.23)
для малых At выглядит следующим образом:
(J (a*, a, At) = ехр {а а - ih(a, a) At}. (2.24)
40
ГЛ. II. КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
Для произвольного интервала t" - i' = NAt мы должны взять свертку N таких
ядер
U (а*, а\ t"-t') =
= $ exp aN+ ... - а\ах + а\ай] -
i [/г ('aN, %_[) + ... + h (ар а0)] A/} Д ^ > (2.25)
k=\
где мы обозначили а0 - а, ац - а*. Формальный предел при At->0, N-*оо
выражается в виде
U {а\ а; t" -*') = $ ехр {а* (*") a (П) X
X exp j J (- а*а - ih ("*, a)) dt j Д , (2.26)
или, после симметризации по а*, а:
U (a*, a; t"-t') =
= § ехр | у (а* (П а (И + а* (О а (/'))} X
(Г )
X ехр| г ^ (а*а - а"а) - /г (а*,а)] dt } Д da^.a . (2.27) ( f J t
Здесь считается, что a*(t")- a*, a(t')= а. Заметим что последняя формула
мало отличается от соответствующей формулы (1.16) предыдущего параграфа.
В обеих этих формулах под знаком функционального интеграла стоит
функционал ехр {i X действие}, и интегрирование ведется по произведению
мер Лиувилля по фазовому пространству. Дополнительный функционал
ехр { ~ (а* (П а (Г) + а* (t') a {t')) j (2.28)
в формуле (2.27) отражает различие граничных условий на траектории, по
которым мы интегрируем: в случае
(1.16) мы фиксируем при t - V и t - t" значение одной и той же
функции q(t), в то время как в случае (2.27) при t - t' фиксировано
значение функции a(t), а при
§ 2. КОНТИНУАЛЬНЫЙ ИНТЕГРАЛ
41
t = t", функции a*(t). Подчеркнем, что переменные a*(t") и a(t") являются
независимыми; по a(t") мы интегрируем, a a*(t") фиксировано. Аналогично,
a* (У) является переменной интегрирования, a a(t') фиксировано.
