Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
pk}in, которую способны дать аксиомы релятивистской инвариантности,
спектральности и локальности1). Наиболее естественный подход состоял бы в
изучении среднего по вакууму от запаздывающего произведения четырех
операторов, через которое можно выразить амплитуду рассеяния. Однако до
сих пор не решена проблема получения такого представления для
четырехточечного среднего по вакууму, которое объединяло бы в себе все
перечислявшиеся выше общие свойства теории (см. в этой связи работы
Бремермана, Оме и Тэйлора [84] и Стритера [745]). Поэтому большую часть
сведений об амплитуде outip'k'\pk)in до сих пор получают на основе
представления (18.323).
Если в этом выражении для амплитуды выполнить дифференцирование, получим
outip'k' | рк)ы = in(p'k' | pk)in - ~з \ dix' \ d*x е-чь-х-ь'-*”) x
x (p' |0 (x’ — x) [j(x'), j(x)] +6(1) (x0 — x'0) l)(x’), d0q> (x)\ \p),
(18.326a)
где
Kxф (x) = j (x). /'"’x(18.3266)
При получении выражения (18.326a) члены вида 6а>\хф- х'0м[ср (х), ср
(х')\ и 6а> {хй — х'0) [/(х), ф (ж')] были приравнены нулю на основании
предположения о локальности поля ф(ж).
В дальнейшем мы будем пренебрегать усложнениями, которые возникают из-за
того, что
КхКуТ (ср (х') ф {х)) Ф Т (j(x')i(x)), (18.327а)
ИЛИ
KxKyR (ср (х1) ф (х)) ф R (/ (х1) / (х)). (18.3276)
Это оправдано тем, что нас в первую очередь интересуют аналитические
свойства амплитуды рассеяния, а разность между правой и левой
!) В этой связи нужно отметить, что сомнительно, чтобы при таком анализе
удалось получить все результаты теории возмущений, если не привлечь
условия унитарности («нелинейную» часть теории). Это определенно так в
случае вершинной функции. Пост [406] показал, что если основываться на
условиях причинности, лоренц-инвариантности и спектральности, т. е.
только на «линейной» части теории, то дисперсионные соотношения для
вершинной я — TV-функции нельзя вывести,
Р S 2 1
если Ж<^ I-1-
§ 4. Дисперсионные соотношения
749
частями (18.327а) [или (18.3276)] составляют члены, зависимость которых
от переменных к, к', р и р' легко установить.
Из локальности и инвариантности следует, что они имеют структуру
П
2 ?i К/7 — Р )2J (к к")21 с конечным п, т. е. что вклад этих членов
г
в амплитуду рассеяния есть полипом по (k-j-k')2 конечной степени. На этом
же основании мы снова исключим из рассмотрения вклад члена д (х0 — х'0)
[/ (я'), д0ф (*)]• В силу трансляционной инвариантности теории
<Р' I [ / (х'), / (*)] J Р) = (р' I и* (а) V (а) [/ (х'), / (ж)] U* (а) V
(а) | р) =
= e-i(P'~p)-a(p' |\j(x' + a), j(x+a)]\p). (18.328)
Выбор а= — х позволяет переписать матрицу рассеяния в виде out{Р к iniP
& I ph)ln =
==— (2зт)з § ^ \ dV~i(fe+p~h'~p')-T,e 1( h h+P P)'*Q (I) {p’\[j (I), j
(0)}\p),
(18.329)
где введены координаты x' — x = \ и 1j2(x -f x') = tj. Выполняя
интегрирование по г), получаем
out(р'к' I pk)i„- mip'k' I pk)lD = 2ra6<4> (p + k-p'- к') R (p', k'\ p,
k),(18.330) где
R (P'k'\ pk) = i ^ d4x eih’-x 0 (x) (p' \ [/ (a;), /(0)]|p) = (18.331a)
= i jj d4xe1(fe+,l)'20(a;)(p'|[ / W ( — у) J |P>- (18.3316)
Выражения (18.331a) и (18.3316) для R. определены только при p-f fc= p' +
к'. Если бы для амплитуды рассеяния было взято выражение (18.324), то
тогда величина R имела бы вид
R(p'k'; pk) = i jj d4x eih’'x{p' \ Т (/ (х) / (0)) |р). (18.332)
В равенстве обоих этих выражений на массовой поверхности для импульсов,
т. е. когда р2 = р'2 = М2, к2 = к'2 = ц2, легко убедиться, если принять
во внимание, что
Т (/ (х) j (0)) = 6 (*) [/ (х), / (0)] + / (0) / (х) (18.333)
и что произведение / (0) / (х) дает в R вклад вида \ d4x eih'-x(p' |/ (0)
j{x)\p) =
О
= 2 ^dixe-«k'+rn-p)-x(pl\/(Q)\pna)(pna\] (0)\р) = ?
\PnCL>
= (2л)4 ^ b(k' + Pn-p)(p'\i(0)\Pna)(pna\/(0)\p). (18.334)
I Pn«>
Поскольку |p') есть однонуклонное состояние, а / (0) сохраняет барион-ное
квантовое число, то и у состояний |рпа) барионное квантовое число
750
Гл. 18. Аксиоматическая формулировка
должно быть равно +1. Так как векторы р, р' и к, к' суть 4-импульсы
одночастичных состояний, то квадрат массы промежуточного состояния | рпа)
благодаря наличию 6-функции должен быть равен
Ml — pl = (р — к')2 = М2 -j-p2 —2р-к’. (18.335)
В системе координат, в которой р—(М, 0,0,0) (т. е. в лабораторной
системе), имеем
Ml = M2 + p2-2Mcok< =
= (М —p.)2 —2М (gv—р) <М2. (18.336)
Однако поскольку состояния с барионным квантовым числом + 1 не могут
иметь массу, меньшую М, то член / (0) / (х) вклада в R не дает и
выражения (18.332) и (18.331а) при к2 = к'2 = р2 и р"2 = р2 — М2 равны
тождественно. Вне массовой поверхности правые части формул (18.331) и
(18.332) определяют две функции, которые, вообще говоря, отличаются друг
от друга. Так как физический смысл имеет только представление на массовой
поверхности, то можно выбрать то выражение, которое наиболее удобно для
применения этих функций вне массовой поверхности. Для выяснения свойств
аналитичности амплитуды наиболее удобным оказывается выражение (18.331а).