Введение в релятивистскую квантовую теорию поля - Швебер С.
Скачать (прямая ссылка):
пространственно-временных сдвигов, то
eiPna% (z) e_ipHati = Q (x + a). (17.260)
Используя унитарность оператора U (1, а) = etP a, можно написать
out(P V | Т (q (х') q (х)) ( ps)in =
= out(pV I e~iP'aeip'a’T (q (x') q (x)) e~ip-aeiPa | ps)ln =
= ейр-р')' aout(pV | T (q (x' + a) q (x + a)) | ps)in. (17.261)
§ 5» Предельные теоремы для низких энергий
661
Равенство (17.261) справедливо при произвольных сдвигах а. Выбрав а — —
х, можно переписать равенство (17.253) следующим образом: з
2| k'ltlmkm — w'(D ^ diX ^ dix'e~it-p+k-p'~h">'x gift'•(*'-*) x i, m=i
x 0ut(P V IT (q (x’ — x)q (0)) I ps)in =
= (2я)4ю'(йб<4) (p + k-p'-k')^ d4ye«'-»out< p's' I T (g (у) Q (0)) | p
s)in. (17.262)
Здесь 6-функция выражает сохранение полной энергии и полного импульса в
рассматриваемом процессе. Если записать
Т (Q (у) Q (0)) = 0 (у) Q (у) Q (0) + 0 ( - у) Q (0) е (у) (17.263)
и вставить между q (0) ид (у) полную систему состояний | q, a)in,
являющихся собственными состояниями Рй с собственными значениями q то
получим
d4?/eift''y out(p's' | Т (д (у) д (0)) | ps)in =
ОО
= 2 dy° ^ rf3J/eife, yout(p's'|g(?/)|q, a)in ln(q, a |д (0) |ps)in+
|q,a>ln 0 0
+ \ dyQ ^ d3yeih'-v 0Ut(pV I д (0) j q, a)in in(q, a | g (y) | ps)in| =
— 00 *
CO
= 2 {5 dy° S ^Vi(fe'+p/_9)'y-(p's'|g(0) |q, a)++(q,
a|g(0)|ps}+ +
I q, a>in о о
+ ( \ ’J J j/'' I (i fil) |,j, ft/, + q, (i j q (U) | p.;:_j _
e(0)|p' + k', a)+ +<?o> P' + k'; a'| g (0) ps>+
+ — 9o~We
9o.<*
-<P'X 1 Q (0) I P —k', q0\ a)+ +{gn, p—k'; a |q (0) [ ps)+~) 264)
*o — Po + % —ie J '
Суммирование в формуле (17.264) проводится по всем состояниям |а),
которые можно связать с однонуклонным с помощью оператора д(0). Так как
(х) коммутирует с оператором числа нуклонов N (число нуклонов минус число
антинуклонов), то состояния |а) должны быть собственными состояниями N с
собственным значением +1. Ясно также, что они должны иметь такой же
заряд, как и состояния |рх)±. Поэтому дают вклад однонуклонные состояния,
состояния одного нуклона плюс одного мезона и т. д.4). Однако члены,
возникающие от возбужденных состояний (т. е. от состояний, отличных от
однонуклонного состояния),
дают вклад порядка к2, так как оператор полного заряда ^ d3XQ(x),
? 1) Промежуточные состояния, содержащие один нуклон и фотоны, будут
давать вклад по крайней мере порядка а по сравнению с вкладом низшего
порядка. Поэтому обычно пренебрегают вкладом от состояний с фотонами по
сравнению с вкладами порядка G2 от промежуточных состояний, содержащих
мезоны.
С62
Гл. 17. Гейзенберговская картина
действуя на |ps)± или |p's')±, дает с-числовой множитель, равный заряду
соответствующего состояния. Поэтому для вычисления С с точностью до
величин порядка к нужно учесть в равенстве (17.264) лишь вклад от
однонуклонных промежуточных состояний. Если выделить вклад этих
состояний, то получим
^ d42/eife'-y out(p's' | Т (q (у) q (0) | ps)in =
= I- V Г-<рУ 1 e (0) 1 P' + k', E (p' + k'), «?'>+ +<s", p'+k', E (p' +
k') | Q (0) I ps)+
m'+?(p')-B(p'+k') + ie
s"
-(pV|Q(0)lP—k', ?(p —k'). Q++(s", p—k', ?(p—k') I e(0) 1 p.?>+) . n,.,,
cow+p)+?(p_k')
(17.265)
где E (p) = + M2.
Чтобы вклад от однонуклонных состояний выразить в явной форме, найдем-
общий вид матричного элемента +(pV | (0) | ps)_. Этот матрич-
ный элемент, выраженный через операторы в картине взаимодействия, равен
+(P's' | jn (0) I ps>+ = - (p' — p)2+(p's' I (°) Ips)+ =
= (p's' | U (0, со) /ц (0) U (0, — со) | ps) =
= (p's'|71(6’/;(0))|ps). (17.266a)
Правая часть равенства (17.266a) представлена с помощью диаграмм на фиг.
138. Таким образом, матричный элемент _(рУ [ jHn (0) I ps)+. равен*)
+<рУ 1 Jkh (0) I Р«>- = (Р' - PVD'pi (р' - р) и8' (р') Гщ (р', р) и8 (р),
(17.2666)
где Г^ —перенормированный вершинный оператор. Чтобы построить оператор
Г^, заметим, что из соображений релятивистской инвариант-
Ч В правой части равенства (17.2666) мы опустили кинематический множитель
(д/2 ni/2
г ) ? Так как наши спиноры нормированы согласно равенству
и (р) и (р) = +1
PoPoJ ( m Y/a
(для спиноров с положительной энергией), то множитель (-------------г )
необходим
V РоРо J
для обеспечения ковариантности матричного элемента. Мы также добавили
индекс R к операторам, чтобы напомнить читателю, что в этом параграфе мы
имеем дело с перенормированными гейзенберговскими операторами.
§ 5. Предельные теоремы для низких энергий
вез
ности он должен иметь вид
. Г1|Х (/>', р) |р2=р,2=М2 = Yn^i (?2) + *<W>vGi (q2) + to^p'vGi (q2),
q = p'-p, (17-267)
где Gt и G2 —инвариантные функции. Кроме того, в силу уравнения
непрерывности 9^(3:) = 0 имеем c^+(p's' | (х) [ ps)_ = 0. Это
означает,
что
(/>' - pYus’ (р') Г1(1 (р\ р) us (р) = 0. (17.268)
Член и (р') Уц (р' — p)v-u (р) Fi (q2) равен нулю из-за того, что и и и
подчиняются уравнению Дирака. А из равенства нулю выражения (.Р' — Р)й“
(Р') (q2) + otlv//vG2 (?2)} и (p) получаем
-Gi(q2) = G2(q2) = F2(q2), (17.269)
так что
ГщД/Л P)tstyiiFi(q2) + iailv(p, — p)vF2(q2). (17.270)
