Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
уравнениям
ъ
<Pk(x)fp(y, х) dx = \frPipk(y),
О
/•
ь
J i>k(z)fp(z, у) dz = Х~рфк(у).
156
Доклад первый
Отсюда следует, что ек^ - целая трансцендентная функция, обращающаяся в
нуль только в точках Л = А&.
Если таким же образом рассмотреть числитель функции G, то станет ясно,
что он является мероморфной функцией от Л, которая может обращаться в
бесконечность самое большее в точках Л = aAj. Однако рассмотрение вычетов
показывает, что этого не происходит и, тем самым, что числитель
ек^2Хhfh+i - также целая трансцендентная функция. Тем самым приведение
фредгольмовой дроби выполнено.
Разложение в ряд числителя и знаменателя фредгольмовой дроби в таком
приведенном виде мы получаем, обратившись к способу построения К(А);
представляя числитель в виде
е*(А)=Е(-Л)"^Ь
получаем
<= Е ±ьаАъ;...,
aa + bf3 + C'y + ...=n
где следует положить
"О, при а < п,
ь
J fa{x, х) dx, при а ^ п.
< а
Аналогичным образом образуется и числитель. Следовательно, детерминанты
следует разложить, как обычно, но при этом отбросить те члены разложения,
которые содержат множитель вида f(xi, Ж2, ... , ж*) с числом переменных
меньше п.
Формулы (2), (2а) и (3) можно использовать и в том случае, когда кроме
ядра /(ж, у) все итерированные ядра также обращаются в бесконечность, и
метод Фредгольма заведомо становится неприменим. Пусть, например, числа
Ъ\, Ьг, • • • , Ъп-1 бесконечны, а числа Ьп, Ъп+1,... конечны. В этом
случае можно образовать ряд К(А), спросить, сходится ли он, и выяснить,
не представляет ли целую функцию. Мне
удалось доказать это в предположении, что f(x, у) - симметричное ядро, т.
е. что
fix, у) = f(y, х).
Об уравнениях Фредгольма
157
При этом я использовал соотношения
Ьп = ?Агп'
которые должны выполняться для п > 2, так как по теореме Адамара род
функции D(А) меньше 2.
Доказательство я не привожу из-за недостатка времени.
Для числителя фредгольмовской дроби я не проводил рассуждения.
Несколько слов я хотел бы еще сказать об интегральном уравнении первого
рода. Метод Фредгольма непосредственно применим к некоторым из таких
уравнений, если их предварительно свести к интегральным уравнениям
второго рода. Например, рассмотрим уравнение
где функция ф(х) задана, (р(х) - искомая функция, в то время как
составная часть /(ж, у) ядра - заданная функция, удовлетворяющая
некоторым приведенным ниже ограничительным условиям. Искомую функцию
(р{у) представим в виде
из которого по интегральной теореме Фурье, если Ф(ж) удовлетворяет
условиям, при которых выполняется эта теорема, следует, что обратное
выражение
(-сю < X < +сю), (1)
- ОС
- ОС
- ОС
Соответственно,(1) преобразуется в
+ 00 +00
27гФ(ж) + А II $(z)f(x,y)e tzy dzdy= ф(х),
- ОС -ос
158
Доклад первый
или
-|-оо
27гФ(ж) + Л J Ф(z)K(x, z)dz = if)(x),
где
+ оо
K(x,z)=J f(x, у)с tzydy, (2)
- ОО
и мы приходим к интегральному уравнению второго рода. Ядро (2) допускает
применение метода Фредгольма, например, если f(x, у) df(x, у)
и --------- равномерно по х при у = ±оо сходятся к нулю,
и выпол-
ду
няется неравенство
d2f < М
ду2 1 + у2 '
где М - константа, не зависящая от ж и у. Например, относительно ф(х)
достаточно предположить, что она обладает лишь конечным числом максимумов
и минимумов и абсолютно интегрируема в интервале от -сю до +сю.
Тот же метод можно применить к ряду
ф(х) = Y,Am[eimx + Хвт(х)]-,
(ш)
проблема возникает, если ф(х) и функции 6т(х) заданы, а коэффициенты Ат
требуется вычислить таким образом, чтобы имело место выписанное выше
разложение. Если ранее речь шла об обобщении интегральной теоремы Фурье,
то теперь нам понадобится обобщение ряда Фурье.
Подставляя <p(z) в виде
2тг
<p(z) = ? Ameimz; 2тгАт = f <p(z)e~imz dz,
(т) {
получаем
27Г
ф{х) = >р(х) + ^ ( <p(z) ^ e~tmz9m{x) dz. о (m)
Об уравнениях Фредгольма
159
Относительно ряда, выступающего здесь в роли ядра, следует предположить,
что он сходится абсолютно и равномерно, т. е. что ряд
?|М*)1 (3)
(ш)
сходится равномерно.
Например, если положить
Л = 1, вт(х) = е^(tm)х-eimx,
то получится разложение вида
^(ж) = ^Ате^тХ.
(ш)
Условие (3) будет выполнено, если мы предположим абсолютную сходимость
ряда
^ {"т - т).
(т)
Наконец, рассмотрим еще уравнение
27Г
J <р(у)[егху + ^(х,у)\(1у=-ф(х), (-оо < х < +оо), (4)
о
которое отличается от (1) тем, что интеграл берется не в бесконечных, а в
конечных пределах. В этом случае функцию ф(х) нельзя выбирать
произвольным образом: если /(ж, у) голоморфна, то ф{х) должна быть целой
трансцендентной функцией для того, чтобы уравнение (4) имело решение.
Наоборот, значения ф(т) функции ф при всех целых числах т по существу
можно выбирать произвольно. Действительно, если положить
2п
ф)=^Ате~^, где 2тгАт = f ф)е{тУ dy,
((tm)) о
то уравнение (4) при х = т переходит в
160
Доклад первый
Таким образом, мы приходим к системе бесконечно многих линейных уравнений
с бесконечно многими неизвестными, исследованием которых занимались Хилл,
X. фон Кох, Гильберт и др. Решение этой системы, если мы примем
