Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
y/sinip ¦ s/D - 1 ^ tyn-u
Полагая
егп^ f-f yjn-ш
(n)
мы получаем возможность рассматривать
v+1
J Se~iu^ dco (v - целое число)
sin^ (sin i?)3/2 •v/cosi? cos ?
Применение интегральных уравнений к волнам Герца
179
как среднее значение ряда S', и я заменю S этим средним значением. Такой
прием заведомо обоснован, если нам требуется лишь установить порядок
величины S, тем более, что в действительности антенна испускает не только
колебания с одной-единственной длиной волны, а целый сплошной спектр
колебаний. Мы получаем
а так как число и> очень велико, интересующий нас интеграл по су-
+?° piQ'P
ществу совпадает с J -- dq.
-оо уЧ
Аналогичным образом можно показать, что средним значением ря-
можно пренебречь по сравнению с S. Тем самым мы приходим к заключению,
что
Соответственно, дифракция тем сильнее, чем ближе источник S к поверхности
Земли и чем длиннее испускаемые волны. Так объясняется тот удивительный
на первый взгляд факт, что используемые в беспроволочной телеграфии волны
Герца позволяют передавать телеграфные сигналы с европейского континента,
например, в Америку.
Если желательно рассматривать не среднее значение ряда, представляемое
некоторым интегралом, а истинное значение ряда, то необходимо провести
некоторый анализ на основе теоремы Абеля. Результаты такого рассмотрения
оказываются несколько более сложными, но по существу совершенно
аналогичными приведенным выше.
да
и, следовательно, отношение
по порядку величины сравнимо с
1
S/b>(D - 1)'
180
Доклад третий
Замечание. Я заметил, что последние заключения нуждаются в некоторых
изменениях. Приближенные формулы, которыми я пользовался, становятся
неверными, если числа п оказываются очень близкими к top. Их следует
заменить другими числами, входящими в целую трансцендентную функцию,
удовлетворяющую дифференциальному уравнению
у" = ху.
Поскольку число членов, подлежащих такого рода модификации, невелико, я
поначалу полагал, что вносимые изменения не скажутся на окончательном
результате. Однако более глубокий анализ показал, что это не так. Сумма
модифицируемых членов сравнима с суммой других членов, которые я учел и
которые задаются приведенной выше формулой; поэтому модифицируемые и
другие члены почти полностью компенсируются, так что значение р,
задаваемое окончательными формулами, оказывается значительно меньше
значения, вычисляемого по приведенным выше формулам.
Доклад четвертый О приведении абелевых интегралов и теории фуксовых
функций
Господа! Сегодня я хочу поделиться с вами некоторыми соображениями о
приведении абелевых интегралов в связи с теорией автоморф-ных, в
особенности фуксовых, функций.
Система абелевых функций от р переменных с 2р периодами называется
приводимой, если ее можно свести к системе функций от q переменных с 2q
периодами (q > р). Важно с самого начала различать два случая.
В первом случае систему S абелевых функций от р переменных можно
образовать с помощью алгебраической кривой С рода р. Точно так же
возникает система S' от q переменных из теории алгебраического
образования рода q.
Однако известно, что первый случай не является общим, так как кривая С
зависит только от 2>р - 3 постоянных, в то время как общие
р(р + 1)
абелевы функции от р переменных содержат ----------- параметров. Во
втором из двух случаев, которые мы различаем, по крайней мере одна из
двух систем S' и S'' не получается из теории алгебраических кривых.
Сегодня я ограничусь в своем докладе исключительно первым из названных
случаев. Но в его пределах необходимо различать два под-случая, а именно
свои соображения мы будем связывать с двумя алгебраическими кривыми С и
С'. В случае приводимости между двумя кривыми возникает алгебраическое
соответствие. Свойство этого соответствия лежит в основе установленного
различия между случаями.
Первый случай состоит в следующем. В силу соответствия каждой точке М
кривой С сопоставляется одна и только одна точка М' кривой С'. Наоборот,
каждой точке кривой С" соответствуют п точек кривой С. Я называю п
характеристическим числом соответствия, а С - многократной кривой для
кривой С".
182
Доклад четвертый
Названный выше первый случай не является общим. Напротив, второй случай
обладает необходимой общностью. Соответствие устанавливается не между
отдельными точками М и М', а между системой точек Mi, ... , Mv кривой С с
координатами (a?i, у\), ... , (х", у") и системой точек М[, ... , M'v
кривой С' с координатами (х[, у[), ..., (.x'v, y'v). При этом каждой
системе точек на С соответствует одна и только одна система точек на С'.
Наоборот, каждой системе точек на С' соответствует, вообще говоря,
несколько систем точек на С. Кривую С я называю псевдомногократной кривой
для С'.
В первом случае х' и у' - рациональные функции от х и у, в то время как
во втором случае мы можем лишь заключить, что любая рациональная и
симметричная функция от (х'1,у[, ... , x'v, yl) есть в то же время
рациональная функция от (х\,у\, ... , xv,yv). Нетрудно видеть, что любая
