Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
где С - заданная функция от ж и у. Дифференциальное уравнение, которое
возникает, когда мы пренебрегаем величиной П, имеет вид
AAtp + Dr = f,
и мы оказываемся перед задачей интегрирования уравнения
Atp = F
с нашим краевым условием.
Эта задача эквивалентна задаче о нахождении внутри граничной кривой
регулярной потенциальной функции V, которая удовлетворяет
на границе условию + сЩ^- = 0, задающим простое распределение on os
потенциала на границе. Если обозначить через s длину дуги граничной
кривой от некоторой заданной начальной точки до точки Р, а через s' -
длину дуги от той же начальной точки до точки Р', то для V получается
интегральное уравнение; но его ядро K(s, s') имеет при s = s'
сингулярность первого порядка, и поэтому интеграл
следует понимать в смысле главного значения Коши, которое по определению
есть арифметическое среднее двух значений, которые принимает интеграл,
если на комплексной у-плоскости при обходе точки у = х один раз выберу
путь АМВ над действительной осью, а другой раз - путь AM'В под
действительной осью.
в
А
Приложение теории интегральных уравнений
165
Вместо того, чтобы использовать методы, которые Келлогг разработал для
таких не непрерывных
ядер, я хочу предложить вам другой д
В
подход. Рассмотрим наряду с операцией
S(f(x)) = / К(х, у) f(y) dy
итерированную
S2(f(x)) = j j K(x, z)K(z, у) f(y) dz dy,
в которой интеграл также следует понимать в смысле главного значения
Коши, т. е. следующим образом. Для переменной z мы рассматриваем пути
АМВ, AM'В, для переменной у - пути АРВ, АР'В, которые могут располагаться
рядом друг с другом, как на рис. 1. Затем мы образуем 4 интеграла,
которые возникают, если путь для z комбинировать с путем для у:
Из этих 4 интегралов мы образуем арифметическое среднее. Выбрав еще 2
пути AQB, AQ'B, как на рис. 1, мы увидим, что в первой комбинации путей
путь АМВ для z заменяется путем AQB + AMBQA, во второй комбинации путь
АМ'В заменяется путем AQ'B, в третьей - путь АМВ заменяется путем AQB и в
четвертой комбинации путь AM'В заменяется путем AQ'B + AM'BQ'А, поэтому в
дальнейшем мы располагаем следующими комбинациями путей:
z : АМВ, АМ'В, АМВ, АМ'В-, у : АРВ, АРВ, АР'В, АР'В.
AQB + AMBQA
AQ'B
AQB
У
АРВ
АРВ
АР'В
AQ'B + AM'BQ'A АР'В.
Выписав соответствующие интегралы и применив теорию вычетов к замкнутым
путям, мы увидим, что наша операция S2(f(x)), соответствующая
интегральному уравнению первого рода, переходит в операцию,
166
Доклад второй
задаваемую левой частью интегрального уравнения второго рода, ядро
которого всюду остается конечным; если мы сначала возьмем четыре
комбинации путей AQB и AQ'B с путями АРВ и АР'В. то получим двойной
интеграл, который не может обращаться в бесконечность, так как на этих
путях х ф уму ф z. Если теперь мы рассмотрим две комбинации путей AMBQA,
АРВ и AM'BQ'А, АР'В или AMBQA, АРВ и AQ'ВМ'А, ВР'А, то нетрудно видеть,
что z описывает вокруг у замкнутую кривую AMBQA или AQ'ВМ'А, а у
одновременно описывает вокруг х замкнутую кривую АРВР'А. Следовательно,
мы можем воспользоваться теорией вычетов и получим член, в который
неизвестная функция входит не под знаком интеграла, как в левой части
интегрального уравнения второго рода. Поскольку мы пришли к всюду
регулярному интегральному уравнению второго рода, к которому применим
метод Фредгольма, трудность в решении нашей задачи преодолена.
Лишь один пункт нуждается в пояснении: если х и у одновременно попадают в
одну из конечных точек А, В интервала, то приведенные выше рассуждения
утрачивают силу и кажется, будто в этих точках конечность нашего ядра,
полученного с помощью итерации, отнюдь не гарантирована. Но в
интересующей нас задаче эти опасения устраняются тем, что береговая линия
("край моря"), которая является интервалом интегрирования, замкнута, из
чего следует, что точки А и В не могут быть исключением.
Этими замечаниями мы завершаем рассмотрение случая вертикальной кромки
моря.
Рассмотрим второй, более трудный, случай, когда море не окружено
вертикальной стеной. В этом случае на границе
h = hi = h2 = 0.
Так как члены второго порядка нашего дифференциального уравнения для <р
представлены выражением
hiAtp,
граничная линия является сингулярной линией для этого дифференциального
уравнения. Кроме того, величины hi, /12 Для критической географической
широты $, определяемой соотношением
4w2 cos2 $ = А2,
Приложение теории интегральных уравнений
167
обращаются в бесконечность. Чтобы решить задачу, несмотря на эти
сингулярности, которые приводят к обращению ядра К в бесконечность, я был
вынужден заменить действительную область интегрирования комплексной,
превратив у в комплексную переменную у + iz\ х при этом остается
действительным.
Рис. 2
Будем интерпретировать х, у, z как обычные прямоугольные координаты в
трехмерном пространстве и условимся считать отрезок АВ (рис. 2) диаметром
сечения плоскости х = const с бассейном моря, лежащим в (х, ?/)-
