Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Пуанкаре А. -> "Последние работы" -> 59

Последние работы - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Последние работы — Ижевск: НИЦ, 2001. — 208 c.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка): poslednieraboti2001.djvu
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 71 >> Следующая

которого от центра О Земли лишь
Рис. 4
очень немногим больше радиуса р (рис. 4). Выберем направление OS за z-осъ
и обозначим через <р отклонение направления ОМ, где М - переменная точка
на поверхности шара, от OS. Смысл переменных $, ?, <р'\ гиг' ясен из рис.
4:
ОМ = ОМ' = ОМ± = р,
OS = D, SM = г, SM' = г'.
Значение нормальной производной N внешнего поля в точке М, как нетрудно
видеть, вычисляется по формуле
4тtN = eiw{t~r)
^ sin $ sin ? + ( \ -\ Ц
iu>r"
(sin sin ? + 2 cos $ cos ?)
Так как u> - очень большое число (так как длина волн Герца мала по
сравнению с радиусом Земли), в этой формуле достаточно сохранить лишь
первый член в квадратных скобках.
Применение интегральных уравнений к волнам Герца
175
Выше мы привели уравнение для волн Герца к виду
2тгpi = I р!К da' + N
и показали, как можно вычислить ядро К. Если теперь мы разложим N и К по
шаровым функциям или, так как наша задача обладает симметрией тела
вращения с осью OS, по полиномам Лежандра Рп, то получим из этого
интегрального уравнения поверхностную плотность электрических зарядов р,
также в виде ряда по полиномам Лежандра Рп. В результате получаем:
где Ап - число, зависящее только от п, но не зависящее от р, a Jn -
функция, связанная с функциями Бесселя.
Действительно, под Jn мы понимаем голоморфное в окрестности точки х = 0
решение уравнения
а под 1п{х) - тот интеграл этого уравнения, который при больших
положительных значениях х приближенно ведет себя как е~1Х. Так как Jn и
1п взаимно независимы, мы можем предположить, что
если под J'n и Гп понимать производные от Jn и 1п.
Решение нашего интегрального уравнения принимает вид
Но поскольку выражение для Кп содержит в числителе множитель Jn(u>p), и
вследствие этого член Jn(u>p) сокращается, характеристическое уравнение
для собственных частот сводится к

Величины Кп имеют вид
о
A-nJn{u} р)
Vl -VI - 1
1ntJn tJn1n - -1-'
= О-
176
Доклад третий
Чтобы придать результатам наглядность, воспользуемся приближенными
формулами. Они основаны на том, что при очень больших и> величина ^ - 1
очень мала. Мы используем следующую приближенную формулу
j riei"Ux = r1eie^ne±Т,
где в и г] - заданные функции от х, ш - очень большое число, в" - вторая
производная от в, и в правую часть в качестве аргумента следует
подставлять такое значение, при котором в достигает максимума или
минимума; в зависимости от того, какой случай представится, 12L
в множителе е 4 следует выбирать либо знак +, либо знак -. Если функция в
имеет в интервале, по которому проводится интегрирование, несколько
максимумов или минимумов, то выражение в правой части следует заменить
суммой аналогичных членов.
Используя эту формулу, мы получаем для полиномов Лежандра Рп (cos <р)
следующее приближенное выражение, справедливое при больших п:
Из него мы получаем для Кп при п < шр
к _ 2п + 1 г ia ia'i iu sin# sin^ I sjnfl
n Sr^/n 1 1 ^Dp cos 0 cos С V ШР '
При этом вместо а и а' следует подставлять выражения
Р 7Г
а = п<р - иг + ^ - 2 >
г / I <р'
а = п <р - ш г + ~2>
а ?, $, <р, <р', г и г' - их значения, представленные на рис. 4, для
которых
("<!)•
Такая же приближенная формула выполняется при п > шр, если в пря-
• / • I
моугольных скобках сумму ега + е*" заменить на ега или на ега ; я не
Применение интегральных уравнений к волнам Герца
177
буду останавливаться здесь на соображениях относительно того, какой из
двух членов следует сохранить.
Чтобы вычислить приближенно член I'nJnt необходимо различать случай п <
и>р и случай п > юр. В первом случае необходимо положить
а - а
во втором случае
I'n Jn = е 2 • cos
I' J - -
JnUn - 2 *
Отсюда следует, что и при п < юр, и при п > юр, и больших п Кп _
yn^y/^sin^sinfl)3/2 1
I'nJn 2 г p^D cos$ cos?
В сумме, которой мы представили р, решающее значение имеют те члены, для
которых приближенно п = и>. При этих значениях приближенно выполняются
соотношения
? = f и г = х/2pD.
Так как в силу малости величины ^ - 1 угол ip всегда близок к нулю, а как
функция от п изменяется очень мало, если п ограничено целыми числами
близкими к п = и>. Следовательно, если мы хотим выбрать единицу длины
так, чтобы р = 1, то можно записать
sin?(sin#)3/2 if ф \
и - С / ------ -- • I cos mb + тг - т I:
^ /cos$ cos С /sin ф V 2 4 J
р - значение поверхности плотности электричества в точке Mi (см. рис. 4).
1Выражение для р можно записать в более простом виде, а именно
, Ini^D)
р =
4-ггш2 p2D2
и это - не приближенная, а точная формула.
J^n(n + 1)(2 п + 1)21-- Pn(cosip),
^ Гп(ир)
178
Доклад третий
Из соотношений
sin* = S> м = ^ со^ = ^-$' со*# = )11-^Ь
получаем:
У(1 + 8)(' + *)Х
^ 1 Уш-П - {/u(D - 1) J-1 а;-п~'
V "(D-1)
так что в окрестности п = а; выражение, стоящее в левой части равенства,
имеет такой же порядок величины как и
^ 1
^/гГ^й'
Используя это приближение в нашей формуле для рь и заменяя cos(пф +
.Ф 7Г\ - i(fl^'+'2-f)
2 _ "i' экспонентой е v 2 4 /, мы приходим к ряду
kjAg '2 4/ v г gintf!
Предыдущая << 1 .. 53 54 55 56 57 58 < 59 > 60 61 62 63 64 65 .. 71 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed