Последние работы - Пуанкаре А.
ISBN 5-93972-038-2
Скачать (прямая ссылка):
плоскости. Если С соответствует критической географической широте, то эту
сингулярность нетрудно обойти, сойдя с действительной оси в комплексную
плоскость. Если мы выберем далее любые две точки D и Е, лежащие между А и
В, и обойдем точку А, выйдя из D и вернувшись в ту же точку, по малой
замкнутой кривой и проделаем аналогичную операцию с точкой В, или, говоря
на пространственном языке, заключим граничную кривую в кольцеобразный
футляр, то тем самым мы поставим задачу проинтегрировать наше
дифференциальное уравнение таким образом, чтобы решение (р, если бы мы
проследили за изменением его значений вдоль кривой, окружающей точку А,
возвращалось в точку D с тем же значением, с которым оно вышло из D.
"Измененное" таким образом краевое условие эквивалентно исходному,
которое требовало, чтобы <р на границе (в точке А) оставалось конечным и
вело себя регулярным образом. Правда, функции Грина G и Gi,
соответствующие новым и старым краевым условиям, не тождественны, хотя и
являются решениями уравнения
D(u) = f, (2)
удовлетворяющими соответствующим краевым условиям. В этом проще всего
убедиться в случае, когда имеется только одна переменная у,
168
Доклад второй
применяя интегральную теорему Коши, получаем из соотношений
" = / G{y, y')f{y') dyUl= j Gl^' y')f(yr) dy'->
что и - U\ = 0.
Чтобы решить задачу (1), я воспользуюсь изложенным выше методом, который
в данном случае подразделяется на две ступени, так как наше измененное
краевое условие недопустимо для уравнения Ди = f.1 Мы можем положить
D(u) = A(hiu) + Di(u) + D2(u);
где DAu) содержит только члены первого порядка по a D2(u)
ах оу
содержит и функцию и. Интегрируя уравнение
дм = I
с краевым условием v = 0, получаем для и = Д- на краю конечную и
"1
регулярную функцию, для которой
A(hxu) = Do (и) = f.
Затем мы используем уже обычные методы и интегрируем уравнение
D0(u)+D2(u) = f
с первоначальным краевым условием. Ядро интегрального уравнения, которое
надлежит использовать в этом случае, хотя и обращается в бесконечность,
но имеет сингулярность такого порядка, что та устраняется при
итерировании ядра: мы избегаем интегрирования по частям, так как оно
привело бы к появлению членов с сингулярностью более высокого порядка.
Преодоленная проблема интегрирования эквивалентна интегрированию
уравнения
D0(u)+D2(u) = f
хЭто условие не того рода, чтобы оно выделяло определенное решение
уравнения А (и) = /.
Приложение теории интегральных уравнений
169
с измененным краевым условием, и потому мы можем теперь подняться на
вторую ступень и найти решение уравнения
с измененным краевым условием.
До сих пор мы предполагали, что член П пренебрежимо мал. Если отказаться
от этого предположения, то никаких новых трудностей при этом не
возникнет. Величина П есть потенциал притяжения, порожденный С;
следовательно,
где da' - элемент поверхности шара, (J - значение функции ? в центре
тяжести (ж', у') этого элемента поверхности, а г - расстояние, измеренное
в трехмерном пространстве между двумя точками (ж, у) и (ж', у') шара, а
интегрирование проводится по всей поверхности шара. Величину П можно
также представить в виде
Подставив это выражение в наши исходные уравнения, первое из которых с
помощью соответствующей функции Грина и с учетом краевого условия из
дифференциального уравнения превращается в интегральное, мы получаем
систему двух интегральных уравнений для ( и tp, решаемых с помощью
рассмотренных выше методов.
D(u) = (D0(u) +D2(u)) +D1(u) = f
п = /
С' dx' dy' k2r
Доклад третий Применение интегральных уравнений к волнам Герца
Сегодня я хочу посвятить свое сообщение применению интегральных уравнений
к волнам Герца, в особенности, к замечательнейшим явлениям дифракции,
играющих столь важную роль в беспроволочной телеграфии; достойно
удивления, что кривизна земной поверхности, препятствующая
распространению света, не мешает распространению волн Герца, и последние
могут по земной поверхности дойти от Европы до Америки. То, что волны
Герца имеют гораздо большую длину, чем световые волны, само по себе не
объясняет это явление. Объяснение возникает лишь при рассмотрении
дифференциальных уравнений проблемы.
Если принять, что скорость света равна единице, и, следуя Максвеллу,
понимать
под а, (3, 7 - компоненты магнитной силы,
под F, G, Н - компоненты векторного потенциала,
под f,g,h - компоненты электрического смещения,
под ф - скалярный потенциал,
под и, v, w - компоненты тока проводимости,
под р - плотность электричества,
то имеют место следующие уравнения:
a=dH_dG i7vf = _dF_d± ( df\ = {h_W
ду дх' 1 dt дх' Vм at) ду dz'
ду дх dt дх \ dt) ду
9f = 9f,9g,dh= \^дЕ
дх дх ду dz ' ^ дх dt
и, следовательно,
Применение интегральных уравнений к волнам Герца
171
Рассмотрим теперь затухающее синхронное колебание. Предположим для этого,
что все наши функции пропорциональны экспоненциальным величинам
Из возникающих при этом комплексных решений мы получаем физические
