Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
~т~
И = -7-: 1O
Рис. 95.
Ш2
можно по карте
Таким образом, задаваясь отношением
устойчивости определить границы для Я, обеспечивающие устойчи вость равновесного положения.
Пример 3. Кривошипный механизм. Задача о колебаниях системы коленчатого вала двигателя приводит к дифференциальным уравнениям с пв'
і
I
" ' 'Л
коэффициен-
риодическими тами *).
Допустим, что на равномерное вращение вала двигателя с угловой скоростью w (рис. 96) накладываются крутильные колебания амплитуды а и круговой частоты V, происходящие по гармоническому закону
ф = a sin xt,
+ -
Рис. 96.
где ф есть изменение угла ф за счет колебаний, причем угол ф изменяется в среднем по закону
ф = at.
Предполагая для упрощения, что мы имеем дело с одноцилиндровым двигателем, можно считать, что система состоит из следующих
*) Эта задача впервые рассматривалась немецким ученым Треф-
tueM, а затем подробно была исследована Н. Е. Кочиным. десь приводится упрощенное изложение, подробнее см. [20].
198
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
частей: маховика, кривошипа, шатуна и поршня. Крутильные
колебания возникают в участке вала между маховиком и кривошипом (рис. 97). Массу шатуна, предполагаемого недеформируемым, заменим, как это принято, двумя точечными массами, одну из которых сосредоточим в поршне, а другую —в цапфе кривошипа.
Пусть х есть координата поршня. Тогда кинетическая энергия всей системы может быть записана так:
Т=ТЫ+ТК+ТП,
К
где индекс «м» относится к маховику, «к» — к кривошипу и «п» — к поршню. В свою очередь,
Рис. 97.
Tm — "2" (® + Фм)2.
T1k = -S-Mo + ^k)2! Tn
Здесь Jk есть момент инерции кривошипа плюс момент инерции части массы шатуна, сосредоточенной в кривошипе; т — масса поршня плюс масса части шатуна, сосредоточенной в поршне; г|)м и — отклонения углов поворота маховика и кривошипа от их значений при равномерном вращении. Полагая шатун очень длинным, будем считать, что перемещение поршня равно перемещению проекции цапфы кривошипа на оси машины; тогда с точностью до постоянной
х — Xk = Г COS ф.
Следовательно,
X — — Гф sin ф = — Г (© -|~ т]?к) Sin ф,
так как угловая скорость кривошипа состоит из постоянной части а и части трк, обусловленной колебаниями. Определяем полную кинетическую энергию системы
T = -J -Tm (ю + Фм)2 + -j [Л + -j mr2 (I — cos 2Ф)] (ю + ij>K)2.
В то же время потенциальная энергия равна
п = -j с (<р„ — фк)2 = -j с Сф„—т|>к)2.
Составляем уравнения Лагранжа
d / дТ \ дТ . dll
УРАВНЕНИЯ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
199
Введем обозначение
Это есть приведенный момент инерции кривошипа, являющийся, как легко видеть, периодической функцией времени. Тогда
Все производные, входящие в уравнения Лагранжа, вычисляются чрезвычайно просто (особенно, если принять во внимание постоян-
Если рассматривать колебания вала около состояния покоя, то
Очевидно, при малой угловой скорости вращения имеем право пользоваться этими уравнениями. В общем случае, исследованном Н. Е. Кочиным *), уравнения получаются более сложными, требующими специальных методов исследования. Мы будем исходить из уравнений (а). Деля первое из них на /пр, а второе на Jw и вычитая, имеем
Таким образом, получено дифференциальное уравнение для угла закручивания г|>. Введя среднее значение приведенного момента инерции
T =
"2" (® 1I1M)2 ~(~ "2” ^np (® 4’к)2 •
ю = 0, а г|)к есть исчезающе малая величина, которой можно пре^ небречь. Тогда имеем простые уравнения
(б)
где
4’ = — Iv
*) К о ч и н Н. E., О крутильных колебаниях коленчатых валов, Прикладная математика и механика, II, 1934, № 1.
200
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
представим выражение в скобках в уравнении (б) следующим образом:
-J- + -J- (I + ~ COS 2ю() =
Обозначим
-(^г+^)['+2/,Р(;Г+у.,) cosH-
J м ^cp 7 2/Ср (/м + /ср)
обственной частоты при о< іризует глубину пульсации,
ф -)- k2 (1 -)- ц cos 2юt) = О,
где k есть квадрат собственной частоты при осреднением моменте инерции, а [г характеризует глубину пульсации. Имеем
т. е. уравнение Матьё. Чтобы воспользоваться картой устойчивости, положим
х — 2ю/.
Тогда соответственно надо положить
б=(і)2> ?=6lt-
и мы имеем
—j— (6 -)— є cos х) г]; = 0.
Таким образом, в кривошипно-шатунном механизме возможно явление параметрического резонанса и при заданной глубине пульсации [г можно легко указать области неустойчивости.
ГЛАВА IV
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
§ 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ АВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ
В главе I нами были выведены дифференциальные уравнения (1.40) вынужденных колебаний линейных систем, которые при отсутствии возмущающих сил обращаются в уравнения свободных колебаний
Jj fij (P) = (4-І)
JTi
где р есть дифференциальный оператор, a ftj (р) — символический полином:
/ц(Р) = ацР2 + ЬчР + си = ^\ ItJ= 1,2...............я; (4.2)
причем
aIj-aJi' bij — bji’ cIj-cJi-
Как известно из теории дифференциальных уравнений, решение системы (4.1) ищется в виде показательных функций:
