Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
T(A) =* m<A)N(A)U(A) ® U(A) = P(A) ® 8<а>- (5.16)
Полный вектор числа-потока и тензор энергии-импульса для всех частиц в рое вблизи <9* получаются суммированием по всем классам:
S= S-W(A)UiAH (5.17)
А
T=S Щл>№(A)U(A) ® U(A) = S P(A) ® S(A)- (5.18)
А А
§ 5.5. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
Простейшим примером сплошной среды является газ из невзаимодействующих частиц («идеальный газ»), в котором скорости частиц распределены изотропно. 6 лоренцевой системе, где имеет место изотропия; из соображений симметрии вытекает равенство между собой диагональных пространственно-пространственных компонент тензора энергии-импульса
Ti гг гг mIAtvXLAy N(A)VxIA) /с 4 п\
Г- =Tvv = T22=I, (i_v^)TFt (5.19)
и равенство нулю всех недиагональных компонент. Более того, (5.19) составлено из произведений числа частиц в единице объема на скорость в направлении оси х (что дает поток частиц в направлении оси х) и на компоненту импульса в направлении оси х, что совпадает с хорошо известным в кинетической теории выражением для давления р. Поэтому в данной специальной лоренцевой системе —«системе покоя» газа — тензор энергии-импульса принимает вид
р О О О OdOO
r*Ho о „ о • ‘5 20)
OOOp
5.6. Электромагнитный тензор знергии-импульса 183
2
Здесь величина р прямо никак не связана с массой покоя составляющих частиц. Она является мерой суммы энергии покоя и кинетической энергии этих частиц.
Выразив (5.20) через 4-скорость и® = (1, 0, 0, 0) среды в системе, где газ покоится, получим
P 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 P 0 0
0 0 0 0 + 0 0 P 0
0 0 0 0 0 0 0 P
= PUaUp + P (Т)а0 -1- иащ)%
или на геометрическом языке, не зависящем от выбора системы, T = PB+ (P+ р) U 0 и. (5.21)
Приложения соотношения (5.21) носят самый общий характер. Это выражение является точным в только что рассмотренном случае «идеального газа». Оно является точным также для любой сплошной среды, которая представляет собой «идеальную жидкость» в том смысле, что в ней нет таких процессов переноса, как теплопроводность и вязкость, а следовательно (в системе покоя), нет и сдвиговых напряжений (тензор напряжений диагонален; диагональные компоненты равны между собой, так как в противном случае поворот системы отсчета привел бы к появлению сдвиговых напряжений). Однако в общем случае идеальной жидкости в плотность энергии-массы р, измеренную в системе, где жидкость покоится, надо включить не только массу покоя и кинетическую энергию частиц, но и энергию сжатия, энергию связи ядер и все прочие источники энергии-массы [полную плотность энергии-массы, которую можно было бы определить с помощью идеализированного эксперимента, подобного изображенному на фиг. 1.12, в котором испытуемая масса помещается в центре сферы, а пробная частица совершает около нее колебания малой амплитуды с со* = (4л/3)р).
§ 5.6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Картина натяжений силовых линий и давлений в перпендикулярных направлениях (фиг. 5.2) позволила Фарадею глубже проникнуть в суть электромагнетизма. Кроме натяжения EiISn (или BiI8л) силовых линий и такого же давления в перпендикулярных направлениях, имеется еще вектор Пойнтинга для потока энергии (Е X В)!4л и максвелловское выражение для плотности
Teinop
аверпт-шшуаьм идеального газа и идеальной жидкости
Определен!
идеальной
ЖИДКОСТИ
2
184 S. Тензор энергии-импульса и законы сохранения
ФИГ. 5.2.
Фарадеевы напряжения в действии. Когда через электромагнит пропускают переменный ток, алюминиевое кольцо взлетает в воздух.
^1I .......... энергии (Ег + В^/вл. Все эти величины содержатся в тензоре
электромагнит- энергии-импульса Максвелла, определяемом выражением
НОГО ПОЛЯ
^nTliv = FmFva-^ ^FafiFafl. (5.22)
УПРАЖНЕНИЕ 5.1.
Покажите, что выражение (5.22), записанное в лоренцевой системе координат, имеет вид
T00 = (E2 -I- В2)/8л, Toi = Tio = (Ех В)}/4я,
А г A .-X (5.23)
т*=шш\~ (Е’Ек+bjb^ + +®2) 6J •
Покажите, что тензор напряжений действительно описывает натяжение (JS?2 + В2)/8л силовых линий поля и давление (Ei + В2)/8л в направлениях, перпендикулярных линиям поля, в соответствии с тем, что утверждалось выше.
§ 5.7. СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Все тензоры энергии-импульса, исследованные выше, были симметричными. Что они другими и не могли быть, можно показать следующим образом.
§ 5.7. Симметрия тензора внергии-импулъса 185
2
Будем проводить выкладки в некоторой лоренцевой системе. Рассмотрим сначала плотность импульса (компоненты T*0) и поток энергии (компоненты Toi). Они должны быть равны между собой, поскольку энергия равна массе (E = Mc2 = М):
Toi = (поток энергии) =
= (плотность энергии) -(средняя скорость потока энергии)* = = (плотность массы) ‘(средняя скорость потока массы)'= = (плотность импульса) = Г,-°.
Остается лишь тензор напряжений Tlk . Для него проводим доказательство с помощью тех же стандартных рассуждений, которые используются в ньютоновской теории. Рассмотрим бесконечно малый куб с ребром L, энергией-массой T00Ls и моментом инерции ~ T00Lb. Поместив начало пространственных координат в центре куба, получим следующее выражение для г-компоненты крутящего момента, действующего на куб со стороны внешней среды: