Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
Xz= (-TyxL2)
(
(L/2) + (TyxL2) (-L/2)
!/-компонента \ силы, дейст- \ вующей на I грань I
+ X J
плечо\
/у-компонента I силы, дейст-I вующей на грань х
)
( плечо\ грани I
(-LI 2) =
— (-TxyL2)
(ж-компонентач /плечо\ силы, дейст- \ I грани I
вующей на I V +у /
грань I
+ У J
= (Txv-Tyx)L3.
Поскольку с уменьшением L крутящий момент убывает лишь как L3, тогда как момент инерции убывает как L5, этот крутящий момент приведет к бесконечно большому угловому ускорению бесконечно малого куба, что абсурдно. Во избежание этого противоречия напряжения всегда распределяются таким образом, что крутящий момент равен нулю, т. е.
Tyx — Txy
Если это распределение напряжений нарушить, то возникающие бесконечные угловые ускорения мгновенно перераспределят их, и равновесие восстановится. Данное условие равновесия для крутящего момента, выполненное по всем остальным парам направлений, эквивалентно симметрии тензора напряжений:
Tih = Tki. (5.25)
Доказательство
того,
что тензор
энергжн-нмпульоа
симметричен
2
186 S. Тенвор энервии-импулъса и ваконк сохранения
§ 5.8. СОХРАНЕНИЕ 4-ИМПУЛЬСА: ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
Интегральный
Вот уже более ста лет закон сохранения энергии-импульса является краеугольным камнем физики. Ho нигде его суть не проявлялась так ясно, как в геометрической формулировке, данной Эйнштейном (фиг. 5.3, а). Рассматривается четырехмерная область пространства-времени Т, ограниченная замкнутой трехмерной поверхностью д"Г. Частицы и поля, втекая в У* и вытекая из нее, переносят 4-импульс. Внутри У* частицы сталкиваются, разрушаются, излучают; излучение распространяется, раскачивает частицы, рождает пары. Однако на любой стадии в этом сложном лабиринте физических процессов полная энергия-импульс остается одной и той же. Энергия-импульс, теряемая частицами, переходит к полям; энергия-импульс, теряемая полями, переходит к частицам. Итак, когда «река» 4-импульса вытекает из она выносит ровно столько же энергии-импульса, сколько она туда внесла.
Сформулируем по другому это равенство, определив полный поток 4-импульса через дУГ наружу. Вытекающий 4-импульс будем считать отрицательным. Тогда «втекает ровно столько же, сколько вытекает» означает «в сумме ничего не вытекает», т. е.
полный поток 4-импульса через замкнутую трехмерную
поверхность наружу должен быть равен нулю. (5.26)
Чтобы вычислить полный поток наружу самым простым способом, аппроксимируем замкнутую 3-поверхность д*Г большим количеством плоских 3-объемов («пластинок»), для которых положительное направление ориентировано наружу (от V). Тогда
где 2(A) есть 1-форма объема для пластинки А. В компонентных обозначениях получаем
Немного усложнив процедуру вычисления, перейдем к пределу, когда число пластинок стремится к бесконечности, а их размеры — к нулю. В результате получим интеграл (дополнение 5.3)
пластинки А
(5.27')
Рполвый наружу— ^ Tvad3 2^ — 0.
OeT9
(5.28)
Это равенство (подобно любому равенству, записанному в компонентах) следует представлять себе как удобную форму записи
5.8. Сохранение 4-импульеа: интегральная формулировка 187
утверждения* не зависящего от системы координат:
РполныЛ наружу — Ф T • d*S — 0.
оУ*
(5.29)
Переходя на следующий уровень сложности (это не рекомендуется делать при первом чтении книги), при котором однако упрощаются вычисления в практических случаях, подынтегральные выражения следует интерпретировать как внешние дифференциальные формы (дополнение 5.4).
Ho как бы ни проводились вычисления, как бы ни интерпретировались подынтегральные выражения, результат всегда звучит просто: полный поток 4-импульса через замкнутую 3-поверхность наружу должен быть равен нулю.
Очень поучительны некоторые частные случаи этого «интегрального закона сохранения», приведенные на фиг. 5.3. Наряду с общим случаем а там приведены следующие частные случаи.
Случай б
Замкнутая 3-поверхность д*Г состоит из двух сечений, соответствующих постоянным значениям времени в некоторой лоренцевой системе, плюс времениподобные поверхности на «бесконечности», соединяющие эти сечения между собой. Бесконечно далекие
поверхности не дают вклада в ф Ttwd8Se, если тензор энергии-
Vyo
импульса достаточно быстро убывает на бесконечности. Положительным направлением границы dV стандартным образом ориентированного 4-объема T по определению является направление от У*. Для этого требуется нестандартная ориентация (положительным направлением является направление в прошлое), что отражено в выражении д*Г = <5% — ^i, и это приводит к изменению знака при вычислении интеграла по гиперповерхности:
0= ф T105^S = - j T*°dxdydz + j T*°dxdydz.
“ Л Л
(полный 4-импульс во всем пространстве в момент
I = j Iм0 dx dy dz =
(полный 4-импульс во всем\ г__________
, = [ TaUxdydz. (5.
пространстве в момент UfJ
30)
Чаотеыееяучш
Поскольку Ta0 — плотность 4-импульса, это уравнение гласит
Полный 4-юшульо oospftsame во времевв
