Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
(В уравнении V-T = O, не зависящем от координат, не нужно заботиться о том, по какому каналу T брать дивергенцию: входные каналы симметричны, и можно пользоваться любым из них.)
Уравнение V-T = O представляет собой дифференциальную формулировку закона сохранения 4-импульса. Его называют также уравнением движения для энергии-импульса, поскольку оно накладывает ограничения на динамическую эволюцию тензора энергии-импульса. Исследование этих ограничений на примере простых систем позволяет постигнуть всю красоту уравнения V-T = O и большие возможности, которые оно предоставляет.
Дополнение 5.3. ИНТЕГРАЛЫ ПО ОБЪЕМУ, ИНТЕГРАЛЫ ПО ПОВЕРХНОСТИ И ТЕОРЕМА ГАУССА В КОМПОНЕНТНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЯХ
А. Интегралы по объему в пространстве-времени
1. По аналогии с трехмерным пространством объем «гиперпараллелепипеда», ребрами которого являются векторы А, В, С, D1 равен
4-объем = Qs EattybAaBtiCfD6 = det
A0 Ai A2 Ai
B0 Bi Bi Bs
C0 Ci C2 C3
0° D1 D2 D3
= *(АД ВД СД D).
Здесь, как и для 3-объема, важна ориентация: перестановка любых двух ребер меняет знак Q. Стандартной ориентацией любого 4-объема является
2
192 5. Тензор знергии-импульса и законы сохранения
та, при которой Q положителен; таким образом, I0 Д B1 Д I2 Д 63 имеет стандартную ориентацию, если е0 направлен в будущее, a el7 JB2, в3 — правая тройка.
2. «Элемент объема», ребра которого в некоторой стандартным образом ориентированной лоренцевой системе имеют вид
Aa = (Д<, 0, 0, 0), Ba = (0, Ах, 0, 0), Ca= (0, 0, Ay, 0), ZJot= (0, 0, 0, Az), согласно приведенному выше определению, имеет 4-объем ДЧ2=E0123 AtAxAyAz = AtAxAy Az.
3. Таким образом, объемный интеграл от тензора S по четырехмерной области пространства-времени T, определяемый выражением
M = Iim
(число элементарных объемов -»-оо
)(
в центре
Л (объем А),
элементарныеЧ объемы I Л в T )
может быть вычислен в лоренцевой системе по формуле M “ 3v = j = j Sapv dt dx dy dz.
Б. Интегралы no 3-поверхностям в пространстве-времени
I. Введем на трехмерной поверхности произвольные координаты а, Ъ, с. Элементарный объем, заключенный между координатными поверхностями
O0 < а < O0 + Да, b0<b<b0 + Ab,
с0<с<.с0 + Ас,
обладает ребрами
Aa = ^Aa, В*=°?-АЬ, Ot=^-Ac,
да ' дЬ ’ дс
и 1-форма его объема имеет вид
A3V ^0t дзР A \и \ л
A32ll = Wv --эГ-Щ-АаАЬ Ас-
Тогда интеграл от тензора S по 3-поверхности <ИР имеет следующие компоненты: N% = j Syd* Ev = j 5% Vvx -?- ^ da db dc.
&
Часто используется эквивалентная формула, содержащая якобиан (см. упражнение 5.5):
r>=i *¦'
§ 5.9. Сохранение 4-импульеа: дифференциальная формулировка 193
В. Формулировка теоремы Гаусса
Положительное
^шправлепие
1. Рассмотрим ограниченную четырехмерную область пространства-времени T с замкнутой границей df'. Ориентируем 1-формы объема на дТ таким образом, чтобы «положительным» направлением было направление от aT.
2. Возьмем тензорное поле S. Проинтегрируем его дивергенцию по Т, а само поле проинтегрируем по дТ. Результаты должны совпасть (теорема Гаусса)'.
j SV,vd4Q= J -SVd3Sv.
суо дуэ
Г. Доказательство теоремы Гаусса
1. Индексы аиру тензора Saявляются «свободными», поэтому в процессе доказательства их можно опустить. Тогда соотношение, которое необходимо получить, принимает вид
j Sytydtdxdydz= ^ Syd? Sv. cVa 09°
2. Поскольку интеграл от производной есть первоначальная функция, то интеграл от S0i0 по объему равен
."Bepx''
"Низ"
j S°,0dtdxdydz= j S°dxdydz— j S°dxdydz.
У® «верх» «вяз»
3. Интеграл по поверхности I S°d3 S о можно свести к такому же виду:
OcVd
а. В качестве координат на d5^j используются х, у, z. На «верхней» стороне ds S0 должно быть положительно, что обеспечивает «положительность» направления от T, поэтому (см. пункт Б выше)
(PS0 = E0apvЦ— — dxdy dz = еош dxdy dz = dxdy dz.
б. На «нижней» стороне d3S0 должно быть отрицательно, т. е.
d3Sо= — dxdy dz.
в. Следовательно,
j S°d3 S0 = j S0dxdy dz— j S0dxdy dz.
«верх»
13-01457
2
194 S. Тензор энергии-импульса и гаконы сохранения
4. Аналогичным образом устанавливается равенство и других компонент. Складывая различные компоненты, получаем искомый результат:
J Sv1 vd4Q = Svd3 Sv.
суо дсуэ
Для читателей, которые ознакомились с гл. 4
Дополнение 5.4. I. ЛЮБОЙ ИНТЕГРАЛ ЕСТЬ ИНТЕГРАЛ ОТ ФОРМЫ.
И. ТЕОРЕМА ГАУССА НА ЯЗЫКЕ ФОРМ
I. Каждый интеграл, встречающийся в гл. 5, можно интерпретировать как интеграл от внешней дифференциальной формы. В четырехкратных и трехкратных интегралах, например, это обстоятельство проявляется в том, что
d*Q = 8= *1 = &Q123d* Д da: Д іу Д dz
и
d3 Sll = locpvi d*“ Д dz" Д dzv
представляют собой базисные 4- и 3-формы. (Напомним, что суммирование по индексам ару, заключенным в вертикальные черточки, производится только по совокупности комбинаций 0^а<Р<;,у^З.) Более подробная сводка обозначений приведена ниже в пункте В.
II. Теорема Гаусса для интеграла от тензора в плоском пространстве гласит
