Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 61

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 180 >> Следующая


[Alt (V)IlJi1.. = У[м.. .і»?]*

Так как машина Alt является линейной, ее можно рассматривать как тензор, который по соответствующим аргументам u, V, ...

..., w, а, Р, ..., Y производит число

ui*vv ... WxCCn1Pv • • • Tm*

а. Покажите, что компонентами этого тензора являются *)

(Alt)pi... рр“‘ "ар = (ply1 бр,1;; ;?*,

где

{+I, если (Ct1, ..., CCp)- четная перестановка (P1, ..., Pp),

— 1, если (O1, ..., ар)—нечетная перестановка (P1,..., Pp),

О, если 1) какие-либо два из а совпадают,

О, если 2) какие-либо два из P совпадают,

О, если 3) а и р — разные совокупности целых чисел.

Отметим, что данный вывод, а следовательно, значения компонент справедливы в любой системе.

1) Индексы у 6 почти никогда не поднимаются я не опускаются, поэтому такое обозначение не приводит к путанице.
§ 4.7. Действие на расстоянии — следствие локального закона 169

2

б. Покажите, что для любого «альтернированного» (т. е. совер- упражнения шенно антисимметричного») тензора Aai ... а =A[ai . . . выполняется соотношение

A Cttl. . . OCpPl... Pg _ A Kttl. . .ttpPl. .-Pa

р| -Яси. . .Opt>vi. . .VpVp+t. . .Ур+q— ЛОі. . .OpuVl............Ур+q

ака2<.. .<ор A COI. . .OpPi.. .Pq

— -rtIoi. . .Ор| uVi.Vp+5*

В последней строке использовано соглашение о том, что при суммировании по индексам, заключенным в вертикальные черточки, в сумме участвуют лишь члены, индексы которых образуют возрастающую последовательность. Покажите отсюда или подобным

же образом, что

сої. . .OpPl. . .Pg Cl*! . . . IJLg _ сої. . .ОрЦ1. . .\kq 0Vl........Vp+qv I Pl • • • Pgl 0Vl..Vp+q •

в. Определим внешнее («косое») произведение двух произвольных альтернированных тензоров соотношением

(« APKl... hp+q ®?i.. . XpXp+1. . \р+5®|й1 • • • UplPlvi. . . Vql и аналогичным образом

(U Д V)*1 ’'' ^p*9 = 8(1 '' ‘ V^+1 ‘ у' • ¦ ¦ IMyIvJ • ¦ -vgl

Покажите, что отсюда вытекает соотношение (3.456). Установите ассоциативный закон для такого произведения, показав, что

[(«AP)Ay1o,.. .Op+q+r 8ai........Op+q+r ^|Xl- • • XplPlIii. . . |lqf| X

X Y|Vi . . . Vrl = Iа A (P A Y) ]<T! .. •®P+fl+r>

и покажите, что он сводится к уравнению (3.45в), в котором

стоит 3-форма, когда a, P и \ все являются 1-формами.

г. Выведите следующую формулу для компонент внешнего произведения р векторов:

(UiAU2A • • • Aup)01- ¦ Ы* ... (up)v =

= p\ulf'u? ... Up?1 = Si1Z2V1P0tp det [(Uli)xI.

Дополнение 4.5. СРАВНЕНИЕ И ПРОТИВОПОСТАВЛЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ И ГАМИЛЬТОНИАНА, ИЛИ «СИМПЛЕКТИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ»

Метрическая структура

Симплектическая структура

1. Физическое приложение

2. Каноническая структура

Геометрия пространства-времени

(... • ...) = ”deZ” =

= —dt(R> dt+dz (Я) dx+ +dу <3> ay+dz (g> dz

Гамильтонова механика 0=dpi Д d?1-Hdp2 Д dg2
2

170 4- Электромагнетизм и дифференциальные формы

Метрическая структура

Симплектическая структура

3. Характер «метрики»

4. Название данной системы координат и любой другой совокупности четырех координат, в которых метрика имеет тот же вид

5. Уравнение поля для этой метрики

6. Четырехморное многообразие

7. Описание структуры этого многообразия, свободное от координат

8. Чем канонические координаты отличаются от других координат (допустимых, но не таких простых)

Симметричная

Лоренцева система координат

— 0 (нулевая риманова кривизна; плоское пространство-время)

Пространство-время

R = O

Приводят к тому, что метрика имеет вид, указанный выше (пункт 2)

Антисимметричная

Система «канонически» (или «динамически») сопряженных координат

de = 0 («замкнутая 2-фор-ма»; условие, выполняющееся автоматически для написанного выше выражения)

Фазовое пространство d6 = 0

Приводят к тому, что метрика имеет вид, указанный выше (пункт 2)

Дополнение 4.6. ИСТОРИЯ ПОЯВЛЕНИЯ ТЕОРЕМЫ СТОКСА

При математической формулировке электромагнетизма центральное место занимают теоремы Гаусса (о ней речь пойдет в гл. 5) и Стокса. Теперь, сформулированные на языке форм, обе они выступают как единое целое. Ho не всегда это единство было очевидным. Эверитт [112] вспоминает историю появления теоремы Стокса: «Первое появление в печати формулы, связывающей интегралы по кон-туру и по поверхности и известной теперь под названием теоремы Стокса, связано с работой Стокса, выдвинутой на премию Смита и попавшей в руки к Максвеллу в [феврале] 1854 г. ...

5. Даны центр и две точки эллипса, а также длина большой оси. С помощью геометрических построений найдите направление этой оси.

6. Проинтегрируйте дифференциальное уравнение

(а2 — хг) dy2 + 2xydydx + (а2 — у2) dx2 = 0.

Есть ли у него сингулярное решение?

7. В двойной системе кривых с двойной кривизной касательная проводится в переменной точке Р; покажите, что если P отходит от произвольной фиксированной точки Q, то чтобы последовательные касательные могли где-то пересечься, точка P должна начинать свое движение по образующей эллиптического конуса с вершиной в точке Q, но условия задачи могут быть также и несовместны.
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed