Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
S0 = S2 = S3 = О,
S1 = RmoAjBk AtU0 = — RotjhA3Bh Дт =
= — Jt At (Jb— площадь крышки мыльницы), если (ех, А, В) —правая тройка,
= + ^Дт (Ji — площадь крышки мыльницы), если (в*, A1 В) — левая тройка.
(Примечание. В этом случае нельзя определить стандартной ориентации, так как S можно непрерывным образом преобразовать в —S с помощью чисто пространственных вращений.)
2. Этот результат на геометрическом языке выражается следующим образом. Пусть Jt — площадь крышки мыльницы, измеренная в ее системе покоя; пусть далее а — единичвая 1-форма, одной из поверхностей которой принадлежит крышка мыльницы и ее 4-скорость (т. е. принадлежит «мировая полоса» крышки мыльницы). Направим положительное направление о так, чтобы оно совпало с положительным направлением (выбранным произвольно) 3-объема крышки мыльницы. Тогда
S = Jt At а.
§ 5.3. КОМПОНЕНТЫ ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА
Как и все другие тензоры, тензор энергии-импульса является машиной, определение и смысл которой выходят за рамки координатных систем и систем отсчета. Ho любой наблюдатель, будучи
12*
2
фвоячеекая
цтерпретаци я
компонент
тензора
анергнн-
ммпульса
X00—плотность энергия
Т^-ПЛОТШИМ
импульса
Tos — поток энергии
180 5. Тенаор энергии-импульса и вакони сохранения
привязанным к некоторой одной лоренцевой системе, обращает больше внимания на компоненты Т, чем на сам тензор Т. Каждой компоненте он приписывает определенный физический смысл. Наибольший интерес, пожалуй, представляет «временно-временная» компонента. Она равна суммарной плотности энергии-массы, измеренной в лоренцевой системе наблюдателя:
T00== -T0a-Tw = J (в0, в0) = плотность энергии-массы (5.11)
(ср. уравнение (5.7), где 4-скорость наблюдателя и заменена базисным вектором е0 = и).
Интерпретацию «пространственно-временным» компонентам Tio можно дать, рассмотрев содержимое мыльницы, покоящейся в системе наблюдателя. Если ее объем равен V, то 1-форма этого объема равна 2 = —Vu = + Vif; fi-компонента 4-импульса, которым она обладает, составляет
р» = <da;>\ р> = T (da:**, 2) = TT (Іх», it) = VT**.
Тогда 4-импульс единицы объема равен
Pi4V=T110, (5.12а)
или, что эквивалентно,
T00 = плотность энергии-массы (5.13а)
(единицы: г/см3, эрг/см3 или см-2);
Tio = плотность /-компоненты импульса (5.136)
(единицы: г(см/с)см_3 или см"2).
Компоненты Tfifc можно интерпретировать, если рассмотреть покоящуюся в системе наблюдателя двумерную поверхность площади Л, положительная нормаль к которой направлена в направлении к. За промежуток времени At эта 2-поверхность заметает
3-объем, 1-форма которого равна 2 = Л AtiJ1 (см. дополнение 5.2).
4-импульс, пересекающий 2-поверхность за время At, имеет (і-компоненту
P11 = I (da:**, 2) = Л At T (da:*, d**) = Л At Tvk.
Таким образом, поток 4-импульса (4-импульс, пересекающий за единицу времени единичную площадку, ориентированную перпендикулярно в/г) равен
(р»/Л Л?)пересекапщий площадку х “ Tvk, (5.126)
или, что эквивалентно,
Tofc = A-KOMnOHeHTa потока энергии (5.13в)
(единицы: эрг/см2 -с или см-2);
5.4. Тенвор энергии-импульса роя частиц 181
2
Tik = /,/с-компонента «напряжения» = (5.13г)
as fc-компонента потока /-компоненты импульса э г /-компонента силы, действующей со стороны полей и вещества в области Xh — в на поля и вещество в области я* + 8 через единичную площадку с перпендикуляром е*.
(единицы: дин/см* или см-2). (Напомним, что «передача импульса за секунду» есть «сила».)
Тензор энергии-импульса должен быть симметричным: Г“В= =TР®; но доказательство этого мы приведем после того, как рассмотрим несколько примеров.
§ 5.4. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ-ИМПУЛЬСА РОЯ ЧАСТИЦ
Рассмотрим рой частиц. Выберем некоторое событие <9* внутри роя. Разобъем частицы вблизи <9* на классы А = 1, 2, . . . таким образом, чтобы частицы из одного класса обладали одними и теми же свойствами:
т(А)—масса покоя,
и<х) - 4-скорость,
P(A) = mlAlulA) — 4-импульс.
Пусть TV(A) — число частиц класса А в единице объема, измеренное в системе, где эти частицы покоятся. Тогда компоненты чвектора числа-потока» частиц 8(Ал определяемого выражением
S(A) 3 N(A)U(A)* (5-14)
имеют простой физический смысл. В системе, в которой частицы класса А имеют обычную скорость V(A), этот смысл сводится к следующему
S(A) = -WfAJu(A) = -W(A) [I -^)1-17*1 = плотность числа частиц;
(5.15а)
L
Г
плотность числа фактор лоренцева частиц в системе, сокращения объема где они покоятся
<S(A> = -W(A)W(A) = -S(A)W(A) = поток частиц. (5.156)
Следовательно, плотность 4-импульса имеет компоненты
T(A) = р?а)?(°д) = m,A)U(A)N (л)М(А) = m(A)N (a>W(A)W(A)»
уМ___
напряжение
Онраделаяе вектора чвмв-оотока для роя чает
2
182 S. Тендер ^энергии-импульса и ваконы сохранения
Тенаор ¦вергнн-шшульеа роя чаетнц
а поток ц-компоненты импульса через поверхность, перпендикуляром к которой служит еj, равен
tVa) = P(A)SU) = m(A>u<A)N(A>u(A) = m^N (А)и^А)и{А).
Эти выражения в точности совпадают с ц, 0- и ц, /-компонентами геометрического, не зависящего от системы, выражения
