Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
УПРАЖНЕНИЯ
2
166 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
УПРАЖНЕНИЯ
уравнение поверхности
xh = Xft (Xі, . . ., Xp) в а и перегруппируйте члены в виде
а = а (Я1, ..., А,р) dX1 Д... Д
2) проинтегрируйте
Ja=J ... { а (Xі, . ..,Xp) dX1 ... dXp, используя обычное определение интеграла.
4.10. Калумоид Уиттекера, или движение контура
Возьмем замкнутый контур, ограничивающий двумерную поверхность <5”. Он окружает некоторый поток F, равный Ф* =^F
(«магнитные трубки»), и некоторый поток М, равный Фм = ^*F
(«электрические трубки»),
а. Покажите, что потоки Фр и Фм зависят только от выбора контура и не зависят от выбора поверхности <SP, которую этот контур ограничивает, в том и только том случае, если dF = d*F = = 0 (нет ни магнитных, ни электрических зарядов). Указание: используйте обобщенную теорему Стокса, дополнения 4.1 и 4.6.
б. Переместите контур в пространстве и во времени, двигая его таким образом, чтобы он все время окружал один и тот же поток F и один и тот же поток М. При таком перемещении контур описывает двумерную поверхность («калумоид» [111]) 3і = 3і (а, b)\ х•* = х•* (а, Ь). Покажите, что элементарный бивектор на этой поверхности 2! = dffi/da Д дSPIdb удовлетворяет условиям (F, S) = 0 и (*F, Z> = 0.
в. Покажите, что эти дифференциальные уравнения относительно X11 (а, Ь) можно решить при заданном начальном условии х» = х^ (а, 0) для начального положения контура, если dF = 0 и d*F = 0 (нет ни магнитных, ни электрических зарядов).
г. Рассмотрите статическое однородное электрическое поле F = —Exit Д йх. Решите уравнения (F, 2 > = 0 и (*F, 2) = = 0 и найдите уравнение <9* (а, Ь) для калумоида самого общего вида. [Ответ: у = у (a), z = z (а), х = х (Ь), t = t (Ь).] Остановитесь подробнее на двух частных случаях: 1) калумоид, целиком лежащий на гиперповерхности постоянного значения времени (контур движется с бесконечной скоростью, аналогично движению со сверхсветовой скоростью точки пересечения лезвий у ножниц);
2) калумоид, контур которого все время покоится в лоренцевой системе t, X, у, Z.
§ 4.7. Действие на расстоянии — следствие локального закона 167
2
4.11. Дифференциальные формы и гамильтонова механика
Рассмотрим динамическую систему с двумя степепями свободы. Чтобы определить эту систему как гамильтонову систему (частный случай: здесь гамильтониан не зависит от времени), необходимо 1) определить канонические переменные (см. дополнение 4.5) и 2) задать гамильтониан H как функцию координат q1, g2 и канонически сопряженных импульсов pt, р2. Чтобы вывести законы механики, рассмотрим пятимерное пространство р1э p2, ql, q2 и t, кривую в этом пространстве, соединяющую начальные значения пяти координат (индекс А) с их конечными значениями (индекс В), а также значение
в в
I = j Рій?1 + Рг&ф — H (р, ?)df= j ю
Л Л
интеграла I вдоль этой кривой. Разность значений интеграла вдоль двух «соседних» кривых, ограничивающих двумерную область JP, согласно теореме Стокса (дополнения 4.1 и 4.6), составляет
81= со= j do.
&
Принцип наименьшего действия (принцип «экстремальной траектории») гласит, что точка, изображающая систему, должна двигаться по той траектории в пятимерном многообразии (траектория с касательным вектором dffi/dt), вдоль которой вариация равна нулю, т. е.
d<о(..., dffi/dt) = О
(2-форма d«>, в которую введен лишь один векторный аргумент, а канал для второго оставлен свободным, приводит к 1-форме в 5-пространстве, которая и должна равняться нулю). Тем самым фиксируется лишь направление dffi/dt; его величину можно задать нормировкой (df, d&ldt) = 1.
а. Вычислите d<o, использовав выражение <a = pjiq}—Hit.
б. Положите dZP/dt = q* (dlIiZdqi) + pj (d^/dpj) -f-1 (dSPjdt) и разложите do(..., dzP/dt) = 0 по базису (dPj, dqk, df}.
в. Покажите, что это пятимерное уравнение можно записать в четырехмерном фазовом пространстве {q*, pk} в виде
0(..., d&ldt) = dtf, где 0—2-форма, определенная в дополнении 4.5.
г. Покажите, что компоненты 0(. . . , dSP/dt) = dH в системе координат {qph} представляют собой известные уравнения Гамильтона. Отметим, что этот вывод основан только на той форме,
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
168 4. Электромагнетизм и дифференциальные формы
которую мы приняли для в; другими словами, классические уравнения Гамильтона получаются и в любых других координатах фазового пространства {q*, pk} («канонических переменных»), для которых
** = dpi Л Aqi + dp2 Д dq\
4.12. Операторы симметрии, трактуемые как тензоры
Определим смысл квадратных и круглых скобок, в которые заключается совокупность индексов, следующим образом:
V(ai.. .ар) =Г?Г 2 Vam - -апР’ -ар] = 2 • -“яр*
Здесь суммирование производится по всем перестановкам я чисел 1,2,..., р и (—1)я равно +1 или —1 в зависимости от того, четная перестановка или нечетная. У величины V, помимо совокупности р индексов Ot1, а2, . . ар, могут быть и другие индексы, не указанные здесь, но лишь данная совокупность индексов подвергается действию операторов, которые здесь описываются. Числа яь л2, . . ., я,, есть числа 1,2,.. ., р, расположенные в другом порядке соответственно перестановке п. (Случаи р = 2, 3 рассмотрены в упражнении 3.12.) Таким образом, имеется машина, превращающая любой тензор ранга р с компонентами Vctj . . . в новый тензор с компонентами
