Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
^•(Тбруска'+Тэ. м. поля) должно быть равно нулю. (5.39)
Для электромагнитного поля самого общего вида, взаимодействующего С произвольным ИСТОЧНИКОМ, V-Тэ. М. ПОЛЯ имеет вид
^v3.„.поля, V= -FvaJa. (5.40)
(Это получено в упражнении 3.18 из выражения для Jliviv, выражения (5.22) для электромагнитного тензора энергии-импульса и уравнений Максвелла.) В случае нашего бруска с бусинами J представляет собой 4-ток, связанный с колеблющимися заряженными бусинами, a F — тензор электромагнитного поля. Временная компонента уравнения (5.40) имеет вид
Ts. М. ПОЛЯ, V = —F^Jft = Tj-J =
(скорость, с которой электрическое поле Е\ совершает работу над единицей объема I. (5.41)
заряженных бусин /
Для сравнения заметим, что Тбруоа. о есть скорость изменения во времени плотности энергии бруска, а— ^бруска, j — вклад в эту скорость изменения плотности энергии, обусловленный потоком энергии самого бруска, и, следовательно, их разность Гбруска, v имеет следующий смысл:
(скорость, с которой возрастает масса-ч энергия единицы объема бруска \ благодаря воздействиям, отличным I . (5.42) от внутренних механических сил J между различными частями бруска /
Применение
уравнения
V-T=O
к электрически
заряженному,
колеблющемуся
реанновому
бруску
2
198 Тензор энергии-импульса и закони сохранения
Следовательно, закон сохранения
(Та. м. поля "Ь Tcpycna),v == О
гласит, что масса-энергия бруска возрастает с точно той же скоростью, с которой электрическое поле совершает работу над бусинами. Аналогичный результат получается и для импульса:
Tэ. м. поля, vBfe = —F Jv6ft = — (J0E -(- J X В) =
/сила Лоренца, действующая\ ,
\ на единицу объема бусин ) ’ (?>.4d)
(скорость, с которой возрастает импульс \ единицы объема бруска благодаря воз- \ _ ,,
действиям, отличным от его собственных I • ( '
напряжений /
Таким образом, закон сохранения
(Ta. м. поля Tбруска).V = О
гласит, что скорость изменения импульса бруска равна силе, действующей на его бусины со стороны электромагнитного поля.
Дополнение 5.5. ОБЗОР НЬЮТОНОВСКОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
Рассмотрим классическую нерелятивистскую идеальную жидкость. Применим закон Ньютона F = та к «частице жидкости», т. е. к малой фиксированной массе жидкости, за которой ведется наблюдение по мере того, как она перемещается в пространстве:
(импульс единицы массы) = (сила на единицу массы) =
_ (сила на единицу объема) —(градиент давления)
— (плотность) — (плотность) *
или
dv і ...
_=__Vp. (I)
Переходя от скорости изменения во времени при наблюдении за элементом жидкости к скорости изменения во времени, измеренной в данном месте, получим
/скорость изме-\ /скорость изме-\
I нения во вре- I I нения во вре- 1 /скорость из-\
I мени при наб- I = I мени в данном I _(_ (скорость \ . I менения в 1 I людении за I у месте J 'жидкости/ Хдространстве/
\ жидкостью /
(2)
§ 5.10. Примеры применения уравнения V-T = O 199
2
или
dvi . 1
-gf+ VtlhVh- — — P л-
(Латинские индексы пробегают значения от 1 до 3; используется правило суммирования Эйнштейна; в плоском пространстве не делается различия между верхними и нижними индексами, соответствующими пространственным измерениям.) Это не что иное, как фундаментальное уравнение Эйлера, описывающее гидродинамику идеальпой жидкости.
Ho для полного описания идеальной жидкости необходимы еще два уравнения. Одно из них отражает отсутствие переноса тепла — требует постоянства удельной энтропии (энтропии единицы массы) для каждой «частицы» жидкости:
оно во всех отношениях аналогично уравнению, которое выражает сохранение заряда в электродинамике и носит то же название уравнение непрерывности.
Ньютоновский тензор энергии-импульса, подобно своему релятивистскому аналогу, связан с сохранением импульса и массы. Обратимся к скорости изменения во времени плотности импульса жидкости pvt — импульса единицы объема; для нее имеем
Импульс втекает в малый элемент объема слева («сила равна скорости изменения импульса во времени») и вытекает справа; то же самое и для других граней. Поэтому правая часть (5) должна представлять дивергенцию этого потока импульса:
В этих обозначениях уравнение изменения импульса во времени принимает вид
-?-=3° или [Ir
(3)
Последнее уравнение выражает сохранение массы:
% + V-(PW)=O,
(4)
или
+(pvk),k=0;
д (PVi)Zdt= -(PViVh)lh-Ptt.
(5)
(6)
Tih = Tih — PviVh і + 8ihp .
(7)
«конвекция» «усилие» Ньютоновское значение плотности импульса равно
Toi _ Tio = pVi.
(8)
ал /ох» = w,f
если положить Г00 = р, то уравнение непрерывности запишется в виде
OT0tlZdxt1 = O.
дТ*/дх» = 0;
(9)
(10)
2
200 S. Тензор знергии-импульса и законы сохранения
Теперь можно сделать вывод: такое ньютоновское рассмотрение приводит к разумной аппроксимации релятивистского тензора энергии-импульса:
(11)
P І PV3 (р + р) м°м° — P j (р + р) U0Ui
PVi I PViV7 -f бl^p (р + р) U0Ui I (р + р) UiUi + SiiP
