Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 6.3. ОГРАНИЧЕНИЯ НА РАЗМЕРЫ УСКОРЕННОЙ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА
Очень легко соединить слова в выражении «система координат ускоренного наблюдателя», однако гораздо труднее отыскать понятие, которому оно могло бы соответствовать. Самое разумное, что можно сразу же сказать про это выражение, это то, что при серьезном рассмотрении оно оказывается противоречивым. Можно предположить, что это выражение относится к некоторой особой системе координат, естественным образом связанной с каким-то определенным ускоренным наблюдателем, подобным тому, мировая
УПРАЖНЕНИЯ
Трудности в построена «системы координат ускоренного наблюдателя»
2
214 б. Ускоренные наблюдатели
Нарушение связи между
наблюдателем ¦ событиями на расстоянии I1 > (ускорение)-1
t -T
X0 - О
ФИГ. 6.2.
Мировая линия наблюдателя, ускорявшегося в течение короткого промежутка времени. На каждом этапе движения с постоянной скоростью можно ввести инерциальную систему координат. Однако эти координаты невозможно согласовать в области перекрытия (которая начинается на расстоянии g-1 слева от участка ускорения).
линия которого задается уравнениями (6.5). Если система координат действительно естественна, то можно ожидать, что достаточно искусный наблюдатель сможет определить координаты любого события, посылая и принимая световые сигналы. Ho из фиг. 6.1 ясно, что события, составляющие четверть всего пространства-времени (зона III), не могут ни послать световые сигналы к выбранному наблюдателю, ни принять их от него. Две другие зоны, составляющие половину всего пространства-времени, менее ограничены в этом отношении: из зоны II невозможно послать сигналы к наблюдателю, в зоне IV невозможно принять их от него. Трудно себе представить, как наблюдатель может определить каким-либо естественным образом систему координат, охватывающую события, с которыми у него нет никаких причинных связей, которые он не может увидеть и из которых его нельзя увидеть.
Трудности возникают и тогда, когда рассматривается наблюдатель, который сначала покоится в некоторой системе, затем в течение некоторого времени ускоряется, после чего движется с постоянной скоростью, т. е. покоится в какой-то другой инерци-альной системе координат. Можно ли исходя из его движения определить каким-либо естественным образом систему координат? Если да, то эта система координат 1) должна совпадать с инерци-альной системой х**, в которой наблюдатель покоился в моменты времени х° меньше 0, и 2) должна совпадать с другой инерциаль-ной системой в момент времени х°'> T', когда он покоился уже относительно этой второй системы. Ясно, что нужны какие-то дополнительные соображения, чтобы решить, как определить координаты в областях, где оба эти условия не выполняются (фиг. 6.2).
§ 6.4. Тетрада, переносимая ускоренным наблюдателем 215
2
Однако еще более озадачивает тот факт, что эти два условия несовместимы в той области пространства-времени, где одновременно выполняются неравенства х° < 0 и х° > T'. В обоих примерах ускоренного движения (фиг. 6.1 и 6.2) серьезные трудности при попытке определить систему координат возникают лишь на конечном расстоянии g_1 от мировой линии ускоренного наблюдателя. Проблема явно неразрешима на расстояниях от мировой линии, превышающих g~l. Ho она естественным бразом решается в непосредственной окрестности наблюдателя. Это решение известно под названием «ортонормированная тетрада, переносимая переносом Ферми — Уолкера». Основную идею легко проиллюстрировать на примере гиперболического движения, чему и посвящен следующий параграф.
§ 6.4. ТЕТРАДА, ПЕРЕНОСИМАЯ РАВНОМЕРНО УСКОРЕННЫМ НАБЛЮДАТЕЛЕМ
Бесконечно малая система координат строится с помощью «тетрады», или «подвижной системы» («подвижного репера» Картана), или совокупности базисных векторов е0 , ві', в2', вз' (индекс обозначает номер вектора, а не номер компоненты вектора!). За ось времени примем ось времени сопутствующей инерциальной системы, в которой наблюдатель в данный момент покоится. Тогда нулевой базисный вектор тождественно совпадает с его 4-скоростью: в0' = и. Преобразования Лоренца в направлении оси 1 не влияют на пространственные оси 62 ие3. Поэтому выберем в качестве в2' и 6s' единичные базисные векторы всеобъемлющей лоренцевой системы, по отношению к которой ранее в уравнениях (6.5) описывалось гиперболическое движение наблюдателя: в,' = вг,
в,' = вз- Оставшийся базисный вектор et>, ортогональный трем другим, параллелен вектору ускорения: ві' = g~lа [см. уравнение (6.4)]. Эту движущуюся систему можно охарактеризовать в более удовлетворительной форме: ось времени во' совпадает
с 4-скоростью наблюдателя, поэтому в этой системе он всегда
покоится; три других вектора ві», в2», вз» выбираются таким образом, чтобы они были 1) ортогональны и 2) не вращались. Эти базисные векторы имеют вид
(^O')1* ==* (ch ^c; ShgT, 0, 0);
(eI*)1* = (sh gx; chgt, 0, 0);
Wi-(OjOiIfO);]
(ез')“=(0; 0, 0, 1).
Существует простое правило получения этих четырех базисных векторов. Берем четыре базисных вектора e0, elt в2, в3 начальной глобальной лоренцевой системы отсчета и применяем к ним простой
