Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
2
t
ФИГ. 6.1.
Гиперболическое движение. Мировая линия объекта (или наблюдателя), который все время испытывает постоянное ускорение g по отношению к инерциальной системе, сопутствующей в данный момент (в разные моменты эти инерциальные системы разные!). 4-ускорение а везде ортогонально (лоренцева геометрия!) 4-скорости и.
Зашппем три алгебраических уравнения
Ut1Wll= —1,
Uf1Oil = — и°а°+и1а1 — О, g2.
Разрешая их относительно ускорения, находим
а°=-IR- = Sui* = "IT = (6-4>
Эти линейные дифференциальные уравнения легко решаются. При соответствующем выборе начала отсчета решение имеет вид
f = g-‘sligT, Z = ^1ChgT. (6.5)
Отметим, что я2 — = g~2. На пространственно-временном чертеже
мировая линия является гиперболой («гиперболическое движение», фиг. 6.1). Некоторые интересные аспекты этого движения рассмотрены в упражнениях. Пусть постоянное ускорение g равно по величине гравитационному ускорению g = 980 см/с® на поверхности Земли: g« (IO8 см/с2)/(3 -IO10 см/с)2=(3 -IO7C -3 -IO10 см/с)-1 = = (1 световой год)-1. Таким образом, наблюдатель достигает релятивистских скоростей, поддерживая это ускорение в течение приблизительно года своего собственного времени. Он может опередить фотон, если стартует впереди него на один световой год или более.
14*
На пространственно-временном чертеже равномерно ускоренный наблюдатель движется по гиперболе
2
<212 6. Ускоренные наблюдатели
УПРАЖНЕНИЯ
6.1. Путешествие к ядру Галактики
Найдите собственное время, необходимое пассажирам космического корабля, чтобы преодолеть расстояние ~ 30 ООО световых лет от Земли до центра Галактики. Примите, что в первой половине пути они разгоняются с ускорением «земного притяжения» (10® см/с®), а во второй половине — так же замедляются.
6.2. Полезная нагрузка ракеты
Какую долю от начальной массы ракеты может составлять полезная нагрузка в путешествии, рассмотренном в упражнении 6.1? Считайте, что ракета идеальная, т. е. что в ней масса покоя превращается в излучение, которое полностью отбрасывается назад с коэффициентом полезного действия 100% и совершенной системой коллимации.
6.3. Парадокс близнецов
а. Покажите, что из всех времениподобных мировых линий, соединяющих два события Jt и 3&, наибольший промежуток собственного времени протекает вдоль неускоренной мировой линии. (Указание: проведите выкладки в инерциальной системо, связанной с неускоренной мировой линией.)
б. Один из близнецов предпочитает добираться из Jt в 3S вдоль неускоренной мировой линии. Покажите, что другой близнец с помощью соответствующего выбора ускорений может добраться от Jt до 3S за сколь угодно малое собственное время.
в. За какой наименьший промежуток собственного времени второй близнец может пройти путь от S до 3&, если он предпочитает путешествовать с комфортом, когда испытываемое им ускорение нигде не превышает земное ускорение тяжести g? Ответ выразите через g и промежуток собственного времени Дт, протекший у неускоренного близнеца.
г. Получите численные значения результата для нескольких интересных случаев.
6.4. Радиолокационный индикатор скорости
Радиолокационная установка измеряет скорость, испуская сигнал на стандартной частоте и сравнивая эту частоту с частотой сигнала, отраженного от другого объекта. Измеренное таким образом красное смещение затем преобразуется с помощью обычных формул специальной теории относительности в соответствующее значение скорости, которое и появляется на выходе радиолокационной установки. Насколько полезной окажется такая
§ 6.3. Ограничения на размеры ускоренной системы отсчета 213
2
радиолокационная установка в качестве инструмента для измерения скорости в случае равномерно ускоренного наблюдателя?
а. Рассмотрите эту задачу сначала в частном случае, когда объект и радиолокационная установка покоятся по отношению друг к другу в момент отражения радиолокационного импульса. Определите красное смещение I -j-z = (oe/<D0, измеряемое установкой в этом случае, и получающуюся в результате (неправильную) скорость. Упростите выкладки, воспользовавшись симметрией задачи.
б. Рассмотрите теперь ситуацию, ногда объект имеет ненулевую скорость в мгновенной системе покоя наблюдателя в момент времени, когда этот объект отражает радиолокационный импульс. Определите отношение истинного значения относительной скорости к скорости, которую показывает радиолокационная установка.
6.5. Радиолокационный индикатор расстояния
Используем радиолокатор в качестве устройства, измеряющего расстояние. Радиолокационная установка измеряет свое собственное время т между моментом испускания ею импульса и последующим моментом приема отраженного импульса. Затем выполняется простейшая вычислительная операция L0 = т/2, и на выход в качестве «расстояния» подается L0. Какова точность показаний радиолокационной установки при измерении истинного расстояния L до объекта равномерно ускоренным наблюдателем? (L определяется как расстояние в мгновенной системе покоя наблюдателя в момент отражения импульса, который приходится на середину промежутка собственного времени наблюдателя между испусканием и приемом импульса.) Приведите правильную формулу, связывающую L0 = т/2 с истинным расстоянием L. Покажите, что показание радиолокатора L0 стремится к бесконечности, когда L приближается к g~l, где g — ускорение наблюдателя, измеренное по его собственному акселерометру.
