Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
л
2
188
5. Тензор анергии-импульса и гаконы сохранения
. \
І А >4- S J
Г' / I V N 0 s. J
—I I т / ' ^ 0 I 1 T
I * * M I 31 I І
ЭО ¦ S2 —
б
JO-^(O2-D1)-S-S
5.8. Сохранение 4-импульса: интегральная формулировка 189
2
ОИГ. 5.3.
а — четырехмерная область пространства-времени cV0, ограниченная замкнутой трехмерной поверхностью W3. Ориентация W0 определена таким образом, что положительным направлением везде является направление наружу (от f°). Сохранение знергии-импульса требует, чтобы все количество 4-импульса, втекающее в Vй через где-то вытекало обратно; ни капли не должно теряться внутри; внутри нет «стоков». Другими словами, полный поток 4-импульса через W0 в положительном направлении (наружу) должен быть равен нулю:
& Г^<гз2а=0.
of3
б, в, г, д — примеры применения закона сохранения 4-импульса, которые «писаны в тексте. Все символы cVs (или tf) на этих фигурах обозначают пространственно-временные объемы (или пространственные 3-объемы) со стандартной ориентацией. Пунктирные стрелки указывают положительное направление замкнутой поверхности df3, используемое в тексте при обсуждении сохранения 4-импульса. Формулы под фигурами указывают, каким образом bY° составлено из поверхностей Например, в случае 6 д°У° =
= оРі — аРі означает, что д°Р получается при объединении <ЦРг со стандартной ориентацией и JP1 с противоположной ориентацией.
Случай в
6 этом случае производится сравнение интегралов по гиперповерхностям JP и JP, которые представляют собой сечения постоянного значения времени t = const и t = const в двух различных лоренцевых системах. Чтобы поверхность стала замкнутой, на бесконечности добавляются времениподобные гиперповерхности и предполагается, что они не дают вклада в интеграл. Ориентации сшиваются гладко и приводят к замкнутой поверхности
дТ = & — Jf + поверхности на бесконечности
лишь при условии, что T = T2-T1, т. е. при условии, ЧТО 4-объем Tі ориентирован нестандартным образом. (О «стандартной» и «нестандартной» ориентации Cm. раздел А.1 дополнения 5.3.) Тогда интегральный закон сохранения дает
0= { Td3S-J Td3S,
J У
или, что эквивалентно,
I T • d32 = (полный 4-импульс р на ?) =
V
= J T • <232 = (полный 4-импульс р на cf).
JP
(5.31)
Полный
4-щшульс
одинаков
во воех
лоренцевых
системах
Полный 4-щшулье не аавнент от гMiiepuoверх* ноетн, на которой его намеряют
Ивмеаеяие во временя 4-импульса в полооти равно потоку 4-нжпульеа череа ее стенки
190 S. Тенеор анергии-импульса и ваконы сохранения
Из этого соотношения следует, что наблюдатели в различных ло-ренцевых системах измеряют один и тот же полный 4-импульс р. Это не означает, однако, что они измеряют одни и те же компоненты (р®!^ ра); это означает лишь, что они измеряют один и тот же геометрический вектор
вектор, компоненты которого связаны обычными формулами преобразования Лоренца
Случай г
Здесь весь вклад в интеграл дают две произвольные пространственноподобные гиперповерхности of А и <5%, простирающиеся через все пространство-время. Как и в случаях а и б, закон сохранения в интегральной форме гласит
т. е. полный 4-импульс на пространственноподобном сечении про-странства-времени не зависит от выбранного конкретного сечения постольку, поскольку поток энергии-импульса через «гиперповерхность на бесконечности», соединяющую <ЗРА и J9b, равен нулю.
Случай д
В этом случае рассматривается полость, стенки которой с течением времени осциллируют и ускоряются. Трехмерная граница дУ~ состоит из: 1) внутренности S’ полости в начальный момент времени t = const в начальной лоренцевой системе полости, ориентированной нестандартным образом; 2) внутренности & полости при 7 = const в ее конечной лоренцевой системе, ориентированной стандартным образом; 3) 3-объема У, заметаемого двумерными гранями полости между начальным и конечным состояниями, положительная ориентация которого направлена наружу. Интегральный закон сохранения IT ^d8S = О гласит
Pe=aVs-
(5.32)
(5.33)
(полный 4-импульс, проникающий в полос через ее грани между состояниями «У1 и
§ 5.9. Сохранение 4-импульса: дифференциальная формулировка 191
§ 5.9. СОХРАНЕНИЕ 4-ИМПУЛЬСА: ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМУЛИРОВКА
В дополнение ко всякому «интегральному закону сохранения в плоском пространстве-времени» существует «дифференциальный закон сохранения», несущий точно такую же информацию. Переход от одного закона к другому и обратно осуществляется с помощью теоремы Гаусса.
Теорема Гаусса в четырехмерном пространстве, примененная к закону сохранения 4-импульса, превращает интеграл от Tva по поверхности в интеграл от T^a а по объему:
0= TiutJ* Za= j Tva^dtdxdydz. (5.35)
aV у®
(Простое рассмотрение см. в дополнении 5.3; более строгий анализ — в дополнении 5.4). Если интеграл от Tftaa по любому произвольному 4-объему V должен быть равен нулю, то и само Г*** в должно равняться пулю повсюду в пространстве-времени: fffflSSSL1*™1*
сохранения
Twija.= 0, т. е. V-T = O повсюду. (5.36)
