Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
§ 5.11. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
Определение
момента
импульса
н вывод его
интегрального
закона
сохранения
Симметрия тензора энергии-импульса T»v = Tv^ позволяет определить момент импульса — сохраняющуюся величину, аналогичную импульсу ра. Момент импульса определяется по отношению к некоторой произвольной начальной точке — событию Л с координатами
я® (Л) = а® (5.45)
в некоторой лоренцевой системе. Момент импульса относительно Jh определяется с помощью тензора
^af5v =(*“—аа) Tpv — (аЭ _ аЭ) Tay. (5.46)
(Отметим, ЧТО Xа—а® есть вектор, отделяющий «точку ПОЛЯ» Xа от «начальной точки» Л; здесь Tay вычисляется в «точке поля».)
Поскольку тензор T симметричен, дивергенция ^apv равна нулю:
$ “Pv v = + (яа_ао) JSV у_б^Гат_(л.Р_аР) v =
О о
= Tpa-Tap = O. (5.47)
Следовательно, интеграл от этого тензора по любой замкнутой
3-поверхности равен нулю:
(5.48)
(интегральная форма закона сохранения момента импульса).
Интеграл по пространственноподобной поверхности постоянного значения времени t равен
Zap= J fa^° dxdy dz= j [(г«-а«)ТР0-(а;р— a») Ta0]dxdydz.
(5.49)
Вспоминая, что TP0 есть плотность импульса, сразу видим, что
(5.49) по форме совпадает с выражением J = TXp ньютоновской теории. Отсюда и название для Ja^ — «полный момент импульса». Различные аспекты определенного таким образом сохраняющегося момента импульса, включая связь с аналогичным понятием в ньютоновской теории, исследуются в дополнении 5.6.
§ 5.11. Момент импульса 201
2
5.2. Сохранение заряда
Из упражнения 3.16 известно, что 4-вектор заряда-тока J удовлетворяет дифференциальному закону сохранения V-J=O. Запишите соответствующий интегральный закон сохранения и дайте интерпретацию этому закону для четырех замкнутых поверхностей, изображенных на фиг. 5.3.
5.3. Рождение частиц
В недрах массивных звезд на поздних стадиях эволюции температура столь высока, что происходит непрерывное рождение и аннигиляция электронно-позитронных пар. Пусть S — вектор числа-потока электронов и позитронов, а его дивергенцию обозначим посредством
E = V-S. (5.50)
Используя теорему Гаусса, покажите, что е есть число частиц, родившихся в единичном четырехмерном объеме пространства-времени (минус число аннигилировавших частиц).
5.4. Инертная масса единицы объема
Рассмотрим среду, в которой есть напряжения и которая движется с обычной скоростью I V I 1 по отношению к некоторой лоренцевой системе.
а. Применив преобразования Лоренца, покажите, что пространственные компоненты плотности импульса имеют вид
Toi=^mihVh, (5.51)
h
где
т1к = T^bjh + TTk, (5.52)
a yiTv — компоненты тензора энергии-импульса в системе покоя
среды. В Солнечной системе повсюду Г00^ I Tik I (см., например,
об урагане в § 5.10), поэтому мы привыкли писать T01 = Г00 Vі, т. е. (плотность импульса) = (плотность массы покоя) X (скорость). Ho внутри нейтронной звезды 2'00 может быть того же порядка, что и Tih, поэтому уравнение (плотность импульса) = (нлотность массы покоя) X (скорость) следует заменить при малых скоростях уравнениями (5.51) и (5.52).
б. Получите уравнения (5.51) и (5.52) в рамках ньютоновского рассмотрения, использовав принцип эквивалентности массы и энергии. (Указание: полная энергия-масса, проносимая мимо наблюдателя объемом среды V включает как массу покоя T00V, так
УПРАЖНЕНИЯ
2
УПРАЖНЕНИЯ
202 5. Тензор энергии-импульса и законы сохранения
и работу, совершаемую силами, которые действуют на грани этого объема и «проталкивают» его с одного места на другое.)
в. Как следует из уравнения (5.51), сила на единицу объема, сообщающая нагруженной среде ускорение diPldt (среда покоится относительно наблюдателя, прилагающего силу), равна
Fj = dT^/dt =Smft dif/dt. (5.53)
Из этого уравнения напрашивается вывод, что mlh можно назвать «инертной массой единицы объема» покоящейся нагруженной среды. В общем случае тА представляет собой симметричный 3-тензор. Во что он переходит в частном случае идеальной жидкости?
г. Рассмотрите изолированное нагруженное покоящееся тело, находящееся в равновесии (ÓР0 = 0) в лабораторной системе. Покажите, что его полная инертная масса, определяемая соотношением
Mii
и= j Inii dx dy dz, (5.54)
нагруженное тело
изотропна и равна массе покоя этого тела
Mii = 6У j T°°dxdydz. (5.55)
5.5. Детерминанты и якобианы
а. Выпишите в явном виде сумму, которой определяется d2S0l в C^v=S dadb.
Убедитесь при этом, что верна формула
»п д (ха, х^) j Jt 1 д (ха, х^) і ,,
d sV-V — eUViaPI д (д> Ь) dadb—EilvaJ-5(в< Ь) da db.
(Выражения, подобные этому, должны встречаться только под знаком интеграла. В этом упражнении можно либо везде, где необходимо, поставить j..., либо интерпретировать дифференциалы
по правилам внешнего исчисления, dadb -*¦ йг Д dЬ; см. дополнение 5.4.) Для якобианов здесь использовано обозначение
d(f,g)
д (а, Ь)
df_ М.
да дЬ dg Sg да дЬ
б. Рассмотрите подобным же образом частный случай и покажите, что
