Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.
Скачать (прямая ссылка):
«¦с, дх$ дху , j. 1 „ д(ха,х&,ху)
d Sli = EnaPv -------Ш~~дГ jjf Wv д(а,Ь,е)
§ 5.11. Момент импульса 203
в. Приведите точное определение значения детерминанта как суммы членов (с соответствующими знаками), каждый из которых есть произведение, содержащее по одному множителю из каждой строки и в то ж? время по одному множителю из каждого столбца. Покажите, что это определение можно представить (в частном случае 4x4, который очевидным образом обобщается на случай р х р) в виде
det А = det (I A^p Il = ъа&уьАаоА*іАу%А^з*
г. Покажите, что
det А~-±- Ь^А\А\А\Аьа
(определение бар?? см- в упражнениях 3.13 и 4.12).
д. Использовав свойства б-символа, покажите, что элементы (А-1)иа матрицы А' 1, обратной матрице А, даются выражением
(Л-1)^ (det A) = JfSZfflApvAvpA6a.
е. С помощью «индексной техники» выведите из формулы для det А в пункте «г» следующее выражение для производной логарифма детерминанта:
din I det A I = Sp (А~1 ІА).
Здесь йА — матрица || dA0^ ||, элементами которой являются 1-формы.
5.6. Центроиды и размеры
Рассмотрим изолированную систему с тензором энергии-импульса T*v, полным 4-импульсом Pa, величиной 4-импульса M = = —(P-P)1/2, тензором собственного момента импульса Sa^ и вектором собственного момента импульса Sa (см. дополнение 5.6). Наблюдатель с 4-скоростью иа определяет центроид системы в своей лоренцевой системе отсчета в момент своего лоренцевого времени х° = t из соотношения
xi:(t) = (I//50)' С XjT0Od3Xl (5.56)
*0=1
в лоренцевой системе отсчета, где и = OffiIdx0. Этот центроид зависит 1) от конкретной системы, которая изучается, 2) от 4-скорости наблюдателя и и 3) от момента времени t, в который наблюдается система.
а. Покажите, что центроид движется с постоянной скоростью
IxiJdt = PjZP0, (5.57)
2
УПРАЖНЕНИЯ
соответствующей 4-скорости
U = P/М.
(5.57')
2
204 S. Тензор энергии-импульса и законы сохранения
упражнения Отметим, что эта «4-скорость центроида» не зависит от 4-скорости и, используемой при определении центроида.
б. Центроид в системе отсчета, где изучаемая система покоится (т. е. центроид, для которого u = U), называется центром масс; см. дополнение 5.6. Пусть ?„ — вектор, соединяющий произвольное событие на мировой линии центра масс с произвольным событием на мировой линии центроида, определенного для 4-скорости и; тогда компоненты в произвольной системе координат задаются выражением
1?=Х*-ХЪ. (5.58)
Покажите, что удовлетворяет уравнению
[(??Рр-Р*&)-Sap] U3=O. (5.59)
(Указание: проведите выкладки в лоренцевой системе отсчета, где U = д&1дх°.)
в. Покажите, что при наблюдении из системы отсчета, где изучаемая система покоится, в любой заданный момент времени приведенное выше уравнение сводится к трехмерному эвклидовому уравнению
?„ = -(vxS)/M, (5.59')
где V = Iilu0 — обычная скорость системы отсчета, в которой определен центроид.
г. Предположим, что плотность энергии, измеряемая произвольным наблюдателем в произвольном месте пространства-времени, неотрицательна (u-T-0 для любого времениподобного и). В системе отсчета, где изучаемая система покоится, построим минимальный возможный цилиндр, который параллелен S и содержит всю систему (Taр = 0 повсюду вне цилиндра). Покажите, что радиус г0 этого цилиндра ограничен соотношением
го > I S I /M. (5.60)
Таким образом, для систем с данным собственным моментом импульса S и данной массой M имеется минимальный возможный размер
г0 мин = I S IIM, измеренный в системе отсчета, где изучаемая
система покоится.
Дополнение 5.6. МОМЕНТ ИМПУЛЬСА
А. Определение момента импульса
а. Возьмем произвольную пространсшсннспсдсбную гиперповерхность # и произвольное событие Л с координатами ха (Л) = а“. (Повсюду используется глобальная инерциальная система координат.)
§ 5.11. Момент импульса 205
2
б. Определим «полный момент импульса на S’ относительно Jktt как
/-V _ J
^txva == (х* - а») Tva - (xv - av) Tm.
в. Бели S— гиперповерхность постоянного значения времени t, то это определение принимает вид
Jtlv=^fttv0dXdydz.
Б. Сохранение момента импульса
а. Из Ttivv = O следует = 0.
б. Это означает, что J*4 не зависит от гиперповерхности S, на которой его вычисляют (теорема Гаусса):
Jilv (Sa)-Jtiv (Sb) =
= [ f tiva^ Sa = j ^tivai0 d4x = 0.
дУ° cJS0
{Примечание'. дТ (граница ТГ) включает SA, S1b и времениподобные поверхности на пространственной бесконечности; вклад последних не учитываем, так как источник локализован.]
В. Изменение точки, относительно которой определяется момент импульса
Пусть Ьа — вектор, соединяющий Jl0 О Ж\\ Ъа — а“ — а“. Тогда
Jtlv (относительно Л\)—
— Jtiv (относительно Л о) =
= —6“ j Tvad3Sa-^bv j = T“v<
S S
=-^Pv+ PPtxt
Sa =
где Ptx — полный 4-импульс.
Г. Собственный момент импульса
а. Перейдем на некоторое время в систему отсчета, где изучаемая физическая система покоится; тогда
P0 = M, Pi -- 0, з'цм = -jjj- j XiTwt d3x—положение центра масс.
2
206 5. Тензор энергии-импульса и законы сохранения
