Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Мизнер Ч. -> "Гравитация Том 1" -> 70

Гравитация Том 1 - Мизнер Ч.

Мизнер Ч., Торн К., Уилер Дж. Гравитация Том 1 — М.: Мир, 1977. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): gravitaciyatom11977.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 180 >> Следующая


j (V-S)d4Q= J S-dS

суэ дуз

для любого тензора, подобного S = Saf^ta 0 ©Р 0 Bv (запись в компонентах приведена в дополнении 5.3). Она представляет собой частный случай обобщенной теоремы Стокса (дополнение 4.1), возможность применения которой зависит от того факта, что базисные векторы еа и ©Р глобальной лоренцевой системы постоянны, т- е. не зависят от х. Определения даны ниже в пункте А, а доказательства — в пункте Б.

А. В плоских пространствах, благодаря наличию постоянных базисных векторов, можно определить интегралы, значениями которых являются тензоры. Таким образом, для тензора с указанным рангом полагаем по определению

j S-d32=ea0o>0 j 5Vd3 Sv.

Вынесение базисных векторов и форм из-под знака интеграла оправдано тем, что они постоянны и не зависят от положения точки в пространстве-времени. Каждое

из чисел J Saf^d3 Sv (для а, р = 0, 1, 2, 3) вычисляется подстановкой в 3-форму

SaeVd8 Sv любой соответствующим образом ориентированной параметризации гиперповерхности, как это описано в дополнении 4.1 (в той части выкладок, где не затрагиваются «свободные индексы» аир, допускается произвольная криволинейная параметризация). Другими словами, под S-d8 S = ea 0 ©р 0 S'V’d8 Sv
§ 5.9. Сохранение 4-импульса: дифференциальная формулировка 195

2

понимается «тензорнозначная 3-форма». Под знаком интеграла она свертывается с элементом гиперплоскости, касательным к 3-поверхности 3і (Я.1, V, Я,3) интегрирования, в результате чего получается интеграл

<*.**, Л-IS-Л-SS-) Л’<»•**•-= в шв j а1***»-

v — - ,и,-*

якобиан

Хотя здесь и существенно то, что базисные векторы ва, (00, соответствующие прямоугольным координатам, постоянны, тем не менее можно пользоваться параметризацией гиперповерхности самого общего вида.

Б. Доказательство теоремы, Гаусса сводится к несложным выкладкам:

<|> S-^3S = Ba 0 Юр SafifC^ Sv (ва, ПОСТОЯННЫ)

&суэ дсуз

= ва 0 j d ((SaQfCl3 Zv) (теорема Стокса)

суэ

— ва 0 ( 5*pv,v*l (CM. ниже)

суэ

= j (V-SJd4Q (простое изменение обозначений).

суэ

Выше в выкладках опущено звено

d (5V d3 Zv) = ^SafivIdzр) Ах? Д d3 Zv = (dSafiy/dxv)*i.

Здесь сначала использовано d (d3 Zv) = 0 (это следствие того, что CliaPv = Const в плоском пространстве-времени), а затем учтено, что

dxP Д d3Sv = 6Pv*l.

(Запишем левую часть этого тождества в виде EvIlivXidarP Д da:** Д Acv Д йх1. Единственный отличный от нуля член в сумме по (ivA, соответствует комбинации чисел каждое из которых отлично от р. Значение этого члена и выпи-

сано в правой части тождества.)

В. Сводка обозначений. 3-форма плотности заряда:

*J = J»d? Ztl = J • d32 = Axf1 Д Ax$ Д da;v/3!.

*2“ '

Wufiv

ІЗ*
о

f 196 5. Тензор энергии-импульса и законы, сохранения

2-формы Максвелла и Фарадея:

*F =4 F»vd?S^,

F = y Fliv йх* Д Chv.

Базисные 2-формы:

йх“ Д (один способ обозначения),

(I2Sliy = e^viapi Д (дуальный способ обозначения).

3-форма плотности энергии-импульса:

T-^3S = e^d3 Sv = *Т.

дуальность ПО последнему индексу, (‘Г)^Pv = TlivEvaPv.

3-форма плотности момента импульса:

j.&H -Ie11 Л e4f ^d3 Se ^ V; (Wv-IW = ^vVfv-

Ньютоновская

жидкость

характеризуется

Ir3 Us' 1, <)<<.'р

§ 5.10. ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ УРАВНЕНИЯ V-T = O

Уравнение движения V-T = 0, примененное к почти ньютоновской жидкости, приводит к классическим (ньютоновским) уравнениям гидродинамики. Такая жидкость характеризуется низкими скоростями по отношению к используемой лоренцевой системе I Vt I 1, и в ее системе покоя давление жидкости мало по сравнению с плотностью энергии-массы р/р = р/рс2 1.

Например, воздух в урагане имеет следующие параметры: І Vі |~ 100 км/час ~ 3 000 см/с ~ IO-7 с = IO-7 1,

Pm

P

1 атм

10е дин/см2

IO9

CMz

IO-12C2= IO-12 <1.

Тензор

анергии-импульса

и уравнение

движения

для ньютоновской

жидкости

IO-3 г/см® IO-3 г/смЗ с2

Тензор энергии-импульса такой жидкости имеет компоненты

T00= (р -i p) U0U0—р яі р, (5.37а)

Toi = Тю = (р + р) u0uj« pvj, (5.376)

Tjh = (р + р) ujuh + p5’h « PVjIJi + p6jh; (5.37в)

компонентами уравнения движения V-T = O являются

T00p0 + TojJ = dpldt -)- V • (ру) = 0 («уравнение непрерывности»)

(5.38а)

Tio о + Tjhik = д (PVi)Idt + д (PVjVh)Idxh + Opldxj = 0,
§ 5.10. Примеры применения уравнения V-T = O 197

2

или, что эквивалентно (в совокупности с уравнением непрерывности)

dv 1

-^- + (v-V)v= — — Vp («уравнение Эйлера»). (5.386)

6 дополнении 5.5 эти результаты выводятся и анализируются с ньютоновской точки зрения.

В качестве еще одного применения уравнения V-T = O рассмотрим составную систему: резиновый брусок, в который вделаны электрически заряженные бусины, взаимодействующие с электромагнитным полем. Резиновый брусок колеблется; бусины при этом испытывают ускорения и излу'-:ают электромагнитные волны. В то же время падающие электромагнитные волны подталкивают бусины, изменяя картину колебаний бруска. Взаимодействия передают

4-импульс от бруска с бусинами электромагнитному полю и обратно. Ни 4-импульс бруска, ни 4-импульс поля не сохраняются; ни ^•Торуска, ни V-T8. м. поля не равны нулю. Ho полный 4-импульс должен сохраняться, т. е.
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 72 73 74 75 76 .. 180 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed